《微分九何》 第1章 向量函数 §1曲面向量函数的微积分简介 §2向量函数的两个常用命题 第1章向量函数 第1页
《微分几何》 第 1 章 向量函数 第 1 页 § 1 曲面向量函数的微积分简介 § 2 向量函数的两个常用命题 第 1 章 向量函数
《微分几何》 设一元向量函数r=()可微 命题1向量函数()具有固定长的充要条件是对于的每一 个值，r'(t)都与r(t)垂直 证由向量函数()具有固定长，有 r2(t)=r(t)=const. 上式两边对求导数，得 2r(t)r'(t)=0, 由此得到 r(t)⊥r'(t) 第1章向量函数 52向量函数的两个常用命题 第2页
《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 2 页 命题１ 向量函数 r(t) 具有固定长的充要条件是对于t的每一 个值, 设一元向量函数r = r(t) 可微. r r ( ) ( ) . t t 都与 垂直 证 由向量函数 r(t) 具有固定长, 有 2 2 r r ( ) ( ) const t t = = . 上式两边对t求导数, 得 2 ( ) ( ) 0, r r t t 由此得到 r r ( ) ( ). t t
《微分几何》 命题1向量函数(t)具有固定长的充要条件是对于的每一 个值，r'(t)与r(t)垂直 反之，由r(t)⊥'(t)可得 r(t)r'(t)=0, 则有 (0. dt 因而得到 r2(t)=const, 即向量函数代)具有固定长. 第1章向量函数 2向量函数的两个常用命题 第3页
《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 3 页 命题１ 向量函数 r(t) 具有固定长的充要条件是对于t的每一 r r ( ) ( ) . t t 都与 垂直 即向量函数 r(t) 具有固定长. d 2 ( ) 0 d t t r = . 则有 r r ( ) ( ) 0, t t 因而得到 反之，由r r ( ) ( ) t t 可得 2 r ( ) const t = , 个值
《微分几何》 当r()为单位向量函数时， r'(t)=lim r(t+△t)-r(t) (t) 所以 △t ro-m r(t+△t)-r(t) △t r(t+△t) lim r(t+△t)-r(t) △t→0 △t 2sin △P lim 2 lim △ 第章向量函数 52向量函数的两个常用命题 第4页
《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 4 页 当r t( )为单位向量函数时, r(t) r (t t) 0 2sin 2 lim t t 0 lim . t t 0 ( ) ( ) ( )= lim t t t t t t r + r r ， 0 ( ) ( ) ( ) = lim t t t t t t r + r r 所以 0 ( ) ( ) = lim t t t t t r + r
《微分几何》 命题2设单位向量函数()，记(t)到r(t+)的夹角为△p, 则有 m-l. 注单位向量函数()关于的旋转速度等于其导数的模 第1章向量函数 52向量函数的两个常用命题 第5页
《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 5 页 命题 2 设单位向量函数 r(t)，记r(t)到r(t+t)的夹角为 , 注 单位向量函数 r(t)关于t的旋转速度等于其导数的模. 0 lim ( ) . t t t r 则有