《微分几何》课程教学课件（PPT讲稿）曲面论——曲面的第一基本形式

2.2曲面的第一基本形式 2.2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长 2.2.2曲面上两方向的交角 2.2.3正交曲线簇和正交轨线 2.2.4曲面域的面积 2.2.5等距变换 2.2.6保角变换（保形变换)

2.2 曲面的第一基本形式 2.2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 2.2.2 曲面上两方向的交角 2.2.3 正交曲线簇和正交轨线 2.2.4 曲面域的面积 2.2.5 等距变换 2.2.6 保角变换（保形变换）

2.2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长 1.曲面上曲线的弧长 给出曲面S:r=r(u,y),曲面曲线(C):u=u(),v=v(t), 或 r=r[u(t),v(t)]=r(t), r'(0=d 或dr=r,du+rd 若s表示弧长，有 ds2=dr2=(,du+rdw)2=,fd2+2f·rdudv+f·Fdw2 设曲线(C)上两点A(o),B(),则弧长为 -(+2r价+G dt dt 其中E=,·,F=·下，G=广·称为曲面的第一类基本量

2.2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 1. 曲面上曲线的弧长 或 dt dv r dt du r t r = u + v ( ) dr r du r dv = u + v 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 2 2 2 2 2 ( ) 2 u v u u u v v v ds dr r du r dv r r du r r dudv r r dv = = + =  +  +  若 s 表示弧长，有 设曲线 (C)上两点 A (t0) , B (t1) ，则弧长为 dt dt dv G dt dv dt du F dt du dt E dt ds s t t t t         + +      = = 1 0 1 0 2 2 2 , , 其中E r r F r r G r r =  =  =  u u u v v v 称为曲面的第一类基本量. 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (C)：u = u (t) , v = v (t)

2.曲面的第一基本形式 称关于d,dv的二次形式 I=(ds)=Edu?+2Fdudy+Gdv? 为曲面的第一基本形式，其中第一类基本量 E=i,F=if,G=下 3用显函数z=zc,y)表示的曲面的第一基本形式 下={x,y,z(x,y)} 8z 片=10，p以，元=0,19，P=x9= E=i=1+p2,F=元万=p9,G=万=1+g I=(1+p2)dx2+2pqdxdy+(1+g2)dy?

2.曲面的第一基本形式 3.用显函数 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式 { , , ( , )} {1,0, }, {0,1, }, , . x y r x y z x y z z r p r q p q x y =   = = = =   2 2 1 , , 1 E r r p F r r pq G r r q =  = + =  = =  = + x x x y y y 2 2 2 2  = + + + + (1 ) 2 (1 ) p dx pqdxdy q dy 为曲面的第一基本形式， 称关于du,dv的二次形式 , , . E r r F r r G r r =  =  =  u u u v v v ( ) 2 2 2  = = + + ds Edu Fdudv Gdv 2 其中第一类基本量

4.第一基本形式正定性 「EFdu 1=(ds)=Fd+2Fdudv+Gidvi=(du dv)Gdv 事实上 E==2>0,G=飞K=r2>0, 且由 (g×r)2×r21rsin(,r) =acfl-asiowf0 2r2-(5)2>0. 因此 EG-F2=2-(r)2>0. 由 E=2>0,G=2>0,EG-F2>0 得I=Edu2+2 Fdudy+Gdw2正定， 实际上也可从I=d2直接得到

4. 第一基本形式正定性 事实上 实际上也可从 直接得到. 2  = ds 2 2 0, 0, E r r r G r r r =  =  =  =  u u u v v v 2 2 2 2 ( ) 0. EG F r r r r − = −   u v u v 2 2 ( ) | | u v u v r r r r  =  2 2 2 | | | | sin ( , ) u v u v = r r r r 2 2 2 | | | | 1 cos ( , ) u v u v = − r r r r     2 2 2 | | | | 1 | || | u v u v u v r r r r r r      = −         2 2 2   ( ) 0. u v u v = −   r r r r 且由 因此 由 2 2 2 0, 0, 0 E r G r EG F =  =  −  u v 2 2 得  = + + Edu Fdudv Gdv 2 正定. ( ) 2 2 2  = = + + ds Edu Fdudv Gdv 2 ( ) E F du du dv F G dv     =        

例1求球面的第一基本形式 ={Rcosecoso,Rcossino,Rsin). 解计算可得 f。={-Rcosθsinp,Rcos0cosp,0} o={-Rsincoso,-Rsinsino,Rcos 由此得到曲面的第一类基本量 E=。=R2cos20, F=。·=0, G=。%=R 因而 I=R2 cos2Odo2+R2de2

解 计算可得 例1 求球面的第一基本形式 r R R R ={ cos cos , cos sin , sin }.      r R R { cos sin , cos cos ,0}  = −     r R R R { sin cos , sin sin , cos }  = − −      由此得到曲面的第一类基本量 2 2 E r r R cos , =  =    F r r 0, =  =   2 G r r R . =  =   因而 2 2 2 2 2 I R d R d = + cos .    x y z  