第二章曲面论 1.曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2.曲面的第一基本形式（第一基本形式、曲线的弧长、正交轨线， 曲面域的面积、等距变换、保角变换) 3.曲面的第二基本形式（第二基本形式、曲面曲线的曲率、 杜邦指标线、渐近线、曲率线等) 4.直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5.曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6.曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯一波涅公式、 曲面上向量的平行移动) 7.常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何）
第二章 曲面论 1. 曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2. 曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、正交轨线、 曲面域的面积、等距变换、保角变换） 3. 曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的曲率、 杜邦指标线、渐近线、曲率线等） 4. 直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5. 曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6. 曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅公式、 曲面上向量的平行移动） 7. 常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何）
2.1曲面的概念 2.1.1简单曲面及其参数表示 1.初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线约当曲线将平面分成 两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的， 另一个是无限的，有限的区域（约当曲线的内部）称为初等区域 如矩形的内部、圆的内部等 2.简单曲面 如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、 在上的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为 简单曲面： 今后我们所用的都是简单曲面或曲面
2.1 曲面的概念 2.1.1 简单曲面及其参数表示 1. 初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线.约当曲线将平面分成 两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的, 另一个是无限的,有限的区域（约当曲线的内部）称为初等区域. 如矩形的内部、圆的内部等. 2. 简单曲面 今后我们所用的都是简单曲面或曲面。 如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、 在上的、双方连续的映射(拓朴映射),则把三维空间中的象称为 简单曲面
3.曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(，)，它的拓朴象为曲面S,其 上的点的笛氏坐标为（化，yz),故有 x=fj(u,v),y=f(u,v),z=fj(u,v),(u,v)EG 称为曲面S的参数表示或参数方程，和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标习惯上写作 x=x(u,v),y=y(u,v),z=2(u,v),(u,v)EG 例：圆柱面 r (u,v) (x.y.) u8) 参数方程为 x=Rcos0,y=Rsine,z=Z R为截圆的半径
3. 曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v), 它的拓朴象为曲面S,其 上的点的笛氏坐标为(x,y,z),故有 x = f1 (u,v) , y = f2 (u,v) , z = f3 (u,v) , (u,v)∈G 称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标.习惯上写作 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)∈G 例：圆柱面 O 2 u( ) v z( ) •( , ) u v O x y z ( , , ) x y z z R x R y R z z = = = cos , sin , 参数方程为 R为截圆的半径
例：球面 v(0) 2 (u,v) 本yz) 0 2π G为长方形区域 u=p(经度)，v=(纬度)， <6<0<0<2 2 曲面的方程为 x=Rcosecoso,y=Rcosesino,z=Rsin0 R为球面的半径
例：球面 O 2 u( ) v( ) •( , ) u v 2 + 2 − ( ) ( ), ,0 2 2 2 u v = = − 经度 ， 纬度 G为长方形区域 R为球面的半径. O x y z ( , , ) x y z z R 曲面的方程为 x R y R z R = = = cos cos , cos sin , sin
例：旋转面 v(t) x=p(t) z=Ψ(t) ●(u,) 体y,2) 2π 4网 y G为长方形区域 u=(经度)，v=t(纬度)， 0<0<2π，-0<t<+0 旋转面参数方程为 x=o(t)cose,y=o(t)sine,z=w(t) R为球面的半径
例：旋转面 O 2 u( ) vt() •( , ) u v ( ) ( ), 0 2 , u v t t = = − + 经度 ， 纬度 G为长方形区域 R为球面的半径. 旋转面参数方程为 x t y t z t = = = ( )cos , ( )sin , ( ). O x y z ( , , ) x y z ( ) ( ) x t z t = =