2.3曲面的第二基本形式 2.3.5曲面的主方向和曲率线 一、主方向定义 二、主方向判别定理(Rodrigues定理) 三、曲率线与曲率线网
2.3.5 曲面的主方向和曲率线 2.3 曲面的第二基本形式 一、主方向定义 二、主方向判别定理（Rodrigues定理） 三、曲率线与曲率线网
2.3.5曲面的主方向和曲率线 一、主方向 1.定义曲面上一点P的两个方向，如果它们既正交又共轭， 则称之为曲面在P点的主方向 2.主方向满足的条件 (1)设两个主方向为(d)、(6) (d),()正交台d.r=0 Eduu+F(duv+Sudv)+Gdvv =0 (d),(6)共轭台df·6n=0或6r.di=0 台Ldusu+M(duv+udhv)+Nhvδv=O
2.3.5 曲面的主方向和曲率线 一、主方向 1.定义 曲面上一点P的两个方向，如果它们既正交又共轭， 则称之为曲面在P点的主方向. 2.主方向满足的条件 ( ),( ) 0 0 d dr n r dn 共轭 = = 或 ( ) ( ) 0 d dr r ， 正交 = (1) 设两个主方向为(d)、( ) + + + = Edu u F du v udv Gdv v ( ) 0 + + + = Ldu u M du v udv Ndv v ( ) 0
(d),(6)正交→Eduδu+F(dhu6v+6ud)+Gdhvδv=0 (d),(6)共轭台LduSu+M(dhu6v+udhw)+Ndhvδv=0 可改写成 (Edhu+Fdv)δu+(Fdu+Ghw)δv=0 (Ldu+Mdv)δu+(Mdu+Ndhw)δv=O 消去u,得 Edu+Fdy Fdu+Gdv D= Ldu+Mdy Mdu+Ndv 0 Edu Fdu Fdv Gdv D= Ldu+Mdy Mdu+Ndy Ldu+Mdy Mdu+Ndv du E du M +dudv(EN-GL)+dv2
Ldu u M du v udv Ndv v + + + = ( ) 0 Edu u F du v udv Gdv v + + + = ( ) 0 消去 u,v 得 0 Edu Fdv Fdu Gdv D Ldu Mdv Mdu Ndv + + = = + + ( ),( ) d 共轭 ( ) ( ) d ， 正交 ( ) ( ) 0 Edu Fdv u Fdu Gdv v + + + = ( + ) ( ) 0 Ldu Mdv u Mdu Ndv v + + = 可改写成 + Edu Fdu Fdv Gdv D Ldu Mdv Mdu Ndv Ldu Mdv Mdu Ndv = + + + + 2 2 + + E F E F F G F G du dudv dudv dv L M M N L M M N = + 2 2 + ( ) E F F G du dudv EN GL dv L M M N = − +
E +dudv(EN-GL)+dv2 G D=du L M du E 这就是主方向所满足的条件，也可写成 dv2 -dudy du" E F G =0 L M 展开得 (EM-FL)du+(EN-GL)dudy+(FN-GM)dy=0 其判别式为 A=(EN-GL2-4(EM-FL)(FN-GM) [【w622FaM
0 2 2 = − L M N E F G dv dudv du 展开得 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 EM − FL du + EN −GL dudv+ FN −GM dv = 这就是主方向所满足的条件，也可写成 2 2 + ( ) E F F G D du dudv EN GL dv L M M N = − + 2 2 + E F E G F G du dudv dv L M L N M N = + 其判别式为 2 = − − − − ( ) 4( )( ) EN GL EM FL FN GM 2 2 2 2 2 4( ) ( ) ( ) ( ) F EG F EN GL EM FL EM FL E E − = − − − + −
3.主方向的个数 A(EN-G)2(M) E2 由主方向满足的方程知，主方向的个数由它的判别式确定： 1)△>0，方程有两个不同实根，有两个不同的主方向，即 Dupin指标线的主轴方向； 2)没有判别式小于零的情况。 3)△=0当且仅当EN-GL=EM-FL=0时.此时有 EFG LM N 定义：若曲面上一点处有EL=FM=GN,则这种点称为 曲面上的脐点
3.主方向的个数 由主方向满足的方程知，主方向的个数由它的判别式确定： 2 2 2 2 2 4( ) ( ) ( ) ( ) F EG F EN GL EM FL EM FL E E − = − − − + − 1）Δ>0，方程有两个不同实根，有两个不同的主方向,即 Dupin指标线的主轴方向； 2）没有判别式小于零的情况。 3） Δ=0当且仅当 EN – GL = EM – FL = 0 时. 此时有 定义：若曲面上一点处有 E/L=F/M=G/N，则这种点称为 曲面上的脐点. . E F G L M N = =