2.3曲面的第二基本形式 2.3.7曲面在一点邻近的结构 一、椭圆点 二、双曲点 三、抛物点
2.3 曲面的第二基本形式 2.3.7 曲面在一点邻近的结构 一、椭圆点 二、双曲点 三、抛物点
为了研究曲面的弯曲性，我们注意到高斯曲率 K= LN-M2 EG-F2 (EG-F2=(G×f)2>0), K的符号由LN-MP的符号来确定 K>0的点为椭圆点； K<0的点为双曲点； K=0的点为抛物点；
为了研究曲面的弯曲性，我们注意到高斯曲率 2 2 2 2 ( ( ) 0) u u LN M K EG F r r EG F − = − = − , K 的符号由 的符号来确定. 2 LN M− K 0 的点为椭圆点； K 0 的点为双曲点； K = 0 的点为抛物点；
一、椭圆点LN-M2>0或K=kk2>0 k1,k2同号，K1>0,K2>0或K1<0,K2<0 适当选取曲面的法向量，只考虑主曲率K>0,K2>0情形 根据欧拉公式 K=K COs20+K2 sin20>0 此时曲面的任意方向的法曲率都大于零，由法曲率的定义 K。,法截线向的正向弯曲， Kn三 -K。,法截曲向的反向弯曲。 得法曲率就是相应的法截线的曲率，所以曲面沿所有方向都朝 法向量的正侧弯曲
一、椭圆点 k k 1 2 , 同号， 1 2 0, 0 或 1 2 0, 0. LN M− 2 0 或 1 2 K k k = 0 适当选取曲面的法向量 n ，只考虑主曲率 1 2 0, 0 情形. 根据欧拉公式 此时曲面的任意方向的法曲率都大于零，由法曲率的定义 得法曲率就是相应的法截线的曲率，所以曲面沿所有方向都朝 法向量的正侧弯曲. cos sin 0 2 2 2 n = 1 + 0 0 , , n n n = − 法截线向 的正向弯曲, 法截曲向 的反向弯曲
回顾：空间曲线在邻近一点的结构 给定C3类曲线下=(S)及其上一点(s)有 (S+△s)-(s) =(s)△s+产(s)(As)2+(F(so)+(△s)3 A名-式+5arla +s+后+es顶 +6(Ko+6A)'7 r(So+ (s)
回顾:空间曲线在邻近一点的结构 O ( )0 r s ( ) 0 r s + s 0 0 0 给定 C 3 类曲线 r r(s) 及其上一点 有 = ( )0 r s ( ) ( ) 0 0 r s s r s + − 2 3 1 1 0 0 0 2! 3! = + + + r s s r s s r s s ( ) ( )( ) ( ( ) )( ) 2 2 0 1 0 2 3 0 0 2 0 3 0 0 3 0 1 ( )( ) 6 1 1 ( ) ( )( ) 2 6 1 ( )( ) 6 s k s s k s s = + − + + + + + +
主曲率K>0,K,>0,主方向上两条法截线的曲率分别为K1,K2, 这两条法截线都是平面曲线 由第一章的结果，平面曲线在一点邻近的近似方程为y=乃Qx 所以这里得到它的近似方程 都是抛物线，所以曲面在椭圆 点邻近的形状近似于椭圆抛 物面 K2
由第一章的结果，平面曲线在一点邻近的近似方程为 2 2 y = 1 x 主曲率 1 2 0, 0 ,主方向上两条法截线的曲率分别为 1 2 , , 这两条法截线都是平面曲线. 所以这里得到它的近似方程 2 1 1 , 2 y x = 2 2 2 1 y = x 都是抛物线,所以曲面在椭圆 点邻近的形状近似于椭圆抛 物面. 1 2 n