第四节 直纹面和可展曲面 4.1直纹面 1直纹面定义 2.直纹面的方程 3.直纹面的法向量 4.直纹曲面的高斯曲率 5.腰曲线 4.2可展曲面 1.可展曲面定义 2.可展曲面分类 3.单参数曲面族的包络 4.可展曲面的几个命题 4.3线汇
第四节 直纹面和可展曲面 4.1 直纹面 4.2 可展曲面 2. 直纹面的方程 5. 腰曲线 1 直纹面定义 3. 直纹面的法向量 4. 直纹曲面的高斯曲率 1. 可展曲面定义 2. 可展曲面分类 3. 单参数曲面族的包络 4. 可展曲面的几个命题 4.3 线汇
4.1直纹面 1.定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，这些直线称为直 纹面的直母线 例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等 B C2 C2 B.C2. C2 (a)一般直纹面 (b)柱面 (c)锥面 (d)切线面 (e)从圆柱面到双曲面 (f)螺旋面 (g)马鞍面
1.定义 由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面, 这些直线称为直 纹面的直母线. 例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等. 4.1 直纹面
效果图
2.直纹面的方程 直纹曲面上取一条曲线(C),它的参数表示是 (C):a=a(u) 若曲线(C和所有直母线相交，即过曲线(C)的每一点u=o, 有一条直母线，则曲线(C称为直纹面的导线 设b(w)是过导线上一点d(u)处 的直母线上的单位向量，则有： r =a(u)+vb(u) 其中直纹面上一点P到导线上的点 (C) a(u)的距离为v. 坐标曲线 v-曲线，下=d(u)+vb(w)为直母线； w曲线，下=d(u)+v,b(w)为与导线平行的曲线
直纹曲面上取一条曲线(C),它的参数表示是 若曲线(C)和所有直母线相交，即过曲线(C)的每一点 , 有一条直母线,则曲线(C)称为直纹面的导线. ( ): ( ) C a a u = 0 u u = 2. 直纹面的方程 b(u) a(u) o ( ) C 设 是过导线上一点 处 的直母线上的单位向量，则有： 其中直纹面上一点 P 到导线上的点 的距离为v. b(u) a(u) r a(u) vb(u) = + a(u) 坐标曲线 v-曲线， 为直母线； u-曲线， 为与导线平行的曲线。 ( ) ( ) 0 b u0 r a u v = + ( ) ( ) r a u v0 b u = +
3.直纹面的法向量 直纹曲面上任一点P(u,v)的 法向量n//厅×容易算出 i,=a'(u)+rb'(u),=b(u), (C) 所以 r=a(u)+vb(u) n×f=xb+bxb, 当P(u,)点在曲面上沿一条直母线移动时，法向量的变化情况： 情形1a'×bb×b,即(a',b,b)≠0. 当P(u,)点在曲面上沿一条直母线移动时，参数v随P(u,v)的 变动而变化，因此法向量（或切平面）绕直母线而旋转
b(u) a(u) o ( ) C 3. 直纹面的法向量 直纹曲面上任一点P(u,v)的 法向量 n r r / / u v .容易算出 '( ) '( ) u r a u vb u = + ， ( ) v r b u = ， r a(u) vb(u) = + 所以 ' ' u v r r a b vb b = + ， 当P(u,v)点在曲面上沿一条直母线移动时,法向量 n 的变化情况: 情形1 a b b b ' / / ' , 即 ( ', , ') 0. a b b 当P(u,v)点在曲面上沿一条直母线移动时,参数v随P(u,v)的 变动而变化，因此法向量 n (或切平面)绕直母线而旋转