三、主曲率的一个命题 命题6曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方 向的法曲率中的最大值和最小值 证明在非脐点，两主曲率不相等，不妨设k<k2,由欧拉公式 K=K cos20+x2 sin20=cos20+K2(1-cos20) K2-Km=(K2-K1)c0s20≥0 →K2≥Km 同理有 Kn-K1=(K2-K)sin2020 →Kn≥K1 即 K1≤Kn≤K2 即主曲率是这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值
三、主曲率的一个命题 命题6 曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方 向的法曲率中的最大值和最小值. 证明 在非脐点，两主曲率不相等，不妨设k1<k2，由欧拉公式 2 2 2 2 1 2 1 2 cos sin cos (1 cos ) n = + = + − 同理有 1 2 1 ( 2 1 )sin 0 − = − n n 2 2 2 1 ( )cos 0 − = − n 2 n 即 1 n 2 即主曲率是这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值
四、主曲率的一个计算公式 由主方向判别定理，沿主方向(d)有dn=-kwd,则 indu+n,cy=-kv(匠du+i元dw) 两边分别与r,作内积 indu+indv=-ky(rr,du+rdv) du+dv=-ky (dudv) 即 -Ldu-Mdy=-ky (Edu+Fdy)(L-Eky )du+(M-Fky)dv=0, -Mdu-Ndy =-ky (Fdu+Gdy) (M-Fky)du+(N-Gkx )dv=0 整理得到关于du,d的齐次方程，它有解的充要条件是 L-EkN M-Fk 0 M-Fk N-Gk 这就是主曲率的计算公式，也可用二次方程表示： (EG-F2)k-(LG-2MF+NE)k+(LN-M2)=0
四、主曲率的一个计算公式 由主方向判别定理，沿主方向(d)有 dn kN dr ，则 = − n du n dv k (r du r dv) u v N u v + = − + 两边分别与ru，rv作内积 r n du r n dv k (r r du r r dv) u u u v N u u u v + = − + r n du r n dv k (r r du r r dv) v u v v N v u v v + = − + ( ) − − = − + Ldu Mdv k Edu Fdv N ( ) − − = − + Mdu Ndv k Fdu Gdv N 即 整理得到关于du,dv的齐次方程， = 0 − − − − N N N N M Fk N Gk L Ek M Fk 这就是主曲率的计算公式，也可用二次方程表示： ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. N N N N L Ek du M Fk dv M Fk du N Gk dv − + − = − + − = 它有解的充要条件是 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( ) 0. EG F k LG MF NE k LN M − − − + + − = N N