《微分几何》课程教学课件（PPT讲稿）曲面论——曲面的第二基本形式（曲面的渐进方向和共轭方向）

2.3曲面的第二基本形式 2.3.4曲面的渐进方向和共轭方向 一、曲面的渐近方向与渐近线 二、共轭方向

2.3.4 曲面的渐进方向和共轭方向 2.3 曲面的第二基本形式 一、曲面的渐近方向与渐近线 二、共轭方向

一、曲面的渐近方向与渐近线 1.定义如果P是曲面的双曲点，则它的迪潘指标线有一对渐近 线，我们把渐近线的方向()称为曲面在P点的渐近方向. Lx2+2My+Wy2=±1 y 2Lx+2My+2Mxy+2Nyy=0 du:dv L+M2+Mv+Ny=0 lim -0 dy dy x→ox-0ddu Ldu2+2Mdudy Ndy2=0 设L,M,N在P点的值为Lo,M,No,则由解析几何知，这 两个渐进方向满足方程 Lodu2+2Modudy +Nodv2=0

一、曲面的渐近方向与渐近线 设L，M，N在P点的值为L0，M0，N0，则由解析几何知，这 两个渐进方向满足方程 2 0 2 0 0 2 L0du + M dudv + N dv = 1. 定义 如果P是曲面的双曲点，则它的迪潘指标线有一对渐近 线，我们把渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向. 0 lim = x 0 y dy dv → x dx du − = − 2 2 Lx Mxy Ny + + =  2 1 2 2 +2 ' 2 ' 0 Lx My Mxy Nyy + + = + ' ' 0 y y L M My N y x x + + = 2 2 Ldu Mdudv Ndv + + = 2 0 P x y du dv :

两个渐进方向满足方程 Lodu2+2Modudy+Nodv2=0 由法曲率公式 亚 kn=I 渐进方向的等价定义：P点处法曲率k,=0为零的方向为P点的 渐进方向 2.渐近曲线 曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方 向，则称曲线为渐近曲线，它的微分方程是 Ldu2+2Mdudy Ndv2 =0

两个渐进方向满足方程 2 0 2 0 0 2 L0du + M dudv + N dv = 由法曲率公式 n II k I = 2. 渐近曲线 2 2 Ldu Mdudv Ndv + + = 2 0. 曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方 向，则称曲线为渐近曲线，它的微分方程是 渐进方向的等价定义：P点处法曲率 为零的方向为P点的 渐进方向. 0 n k =

3.性质 命题1：如果曲面上有直线，则其一定为曲面的渐进曲线 证明：因为直线的曲率k=0，所以沿直线方向的法曲率 k =k cos=0. 即 Ldu2+2Mdudy +Ndv2=0, 因而直线是曲面的渐近曲线

3.性质 命题1：如果曲面上有直线，则其一定为曲面的渐进曲线. 证明：因为直线的曲率 ，所以沿直线方向的法曲率 cos 0, n k k = =  k = 0 即 2 2 Ldu Mdudv Ndv + + = 2 0, 因而直线是曲面的渐近曲线

命题2：曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 密切平面， 证明：沿渐近曲线有k=kcos0=0→k=0或cos0=0 若k=0,则为直线，这时曲面的切平面通过它，因而曲线 的切平面又是曲线的密切平面 若k*0cs0=0→6- 则曲面的法向量垂直于渐近曲线 的主法向量，因此曲面的切平面 通过渐近曲线的切线外，还通过 渐近曲线的主法向量，所以它又 是渐近曲线的密切平面

若 k = 0，则为直线，这时曲面的切平面通过它，因而曲线 的切平面又是曲线的密切平面. 命题2：曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 密切平面. k = k cos = 0  k = 0 或 cos = 0 证明：沿渐近曲线有 n 若 k  = 0,cos 0  P ( ) d S  n 则曲面的法向量垂直于渐近曲线 的主法向量，因此曲面的切平面 通过渐近曲线的切线外，还通过 渐近曲线的主法向量，所以它又 是渐近曲线的密切平面. =( , ) 2 n   =   