第一章 三维欧氏空间的曲线论 §1曲线曲线的切向量孤长 物理学中，曲线常被看作质点运动的轨迹，时间是描述质点 运动的参数.在微分几何中，也常常采用参数方程来表示曲线。 设{O,y是中的笛卡尔直角坐标系， 花=出( y=y(t) (1-1) 名=z() 都是：的连续可微函数（今后我们总假定它们有三阶连续导数）， 设这些函数的定义域是直线！中的一个区间(4，)（区间的增点 0可以是一∞，b可以是+∞)，(1-1)式给出了从(a,)到E中 的一个连续可微映照 t→(c(①，()，z() 在这个映照下，古被映到点P((),y(传)，())，（④，）的象集就 构成了中的一条连续可微曲线0，简称曲钱（见图1）.我们把 t称为曲线0的参救.(1-1)式就是曲线0的参数方程.今后常 把(1-1)式写成向量形式 r=中()=(()，()，z()》 (1-2) 而把曲线上参数为的点P称为点掌()，简称为专点或P()点. 按照参数增加的方向可以确定出曲线的正向（见图1）.称向 h9-(细，0,2） dt t dt, 。1
映照 图1 为曲线在t处的切向量.如果在t一6处女型+0，则称参数为 和的点是曲线r(t)的正则点，否则就称为奇点，曲线C上所有点 都是正则点附，则称)为正则曲战. 例1曲线r=r(t)=(0t,ai血，bt)的轨迹是柱面 x2+y-a2上间距为2xb的一条圆柱螺线（图2），它是一条正则 曲线
例鲁·曲线()=(”，”，0)，∈，在=0处， r(0-(0,0,09 诚 所以t=0点不是正删点（见厨3）. 如果采用另一个参教玉，则曲线0的方程为掌=（闭.为了 保证和无一一对应，参数变换式=()必须潮足 票+0 为了使元，的增加方向都相应于曲线的正向，则要求 恶>0 (1-3) 于是由密一部警知道，雪线0上一点蜘在取参数1时为正 则点，则在取参数玉时也必为正则点。 对于正则曲线了=r(),称 0-9 14) 为曲线从参数和到古处的薰长，其中 12-+2+2町 是切向藏血的长度。 设曲线O上两点P。,P在曲线的不同参数，舌的选取下， P。点的参数分别为，o,点P的参数分别为，云.令()是曲 线从6到：的孤长，（团）为曲线从0到言的氟长.设在参数变换 下，密>0，胸有 闭-z-既恶} -儿露-0 ，3·
因此弧长只依懒于曲线上的点P。、P,而与参数的选取无关。 显然，弧长是专的可微函数，且 =*0 Pi-1 密-2|- () 对正则曲线，血@+0，所以 dt 密>0，于是可琅孤长：作为 i=70 新的参数.这时由 =0 图·4 1-×-29 知道，以孤长为参数时曲线的切向量血@为单位向量，反之， 当切向基为单位向盘时（部一，从-④式积出 -x-= 当式中6取0时，可看出就是从=0处起算的弧长（见图4）， 今后如无特别说明，曲线总是指正则曲线，而且()中的为 弧长参数，并用“撤”表示关于多的导数，如 等等
下面我们证明一个定理。 定理设曲线C:r=r(s)(3是孤长参数)的每点有一个单位 向量a(s)(见图5(a)),则有 ao1=2 其中8表示c(8+s)与a(s)的夹角（见图5(）). 证明 a'01-Hnas+》-a@ -a+2al- 14s| s}a 定理证毕. 分 色 1计算下列曲线从：=0起的蔬长 ()双曲螺线r=(aoht,4sh多，b) (2)悬链线-G,ach片，0) (3)曳物线r=(acost,an(eo+g)一&int,0) 2求平面曲线的极坐标方程p=p()下的长公式，其中p为极径，日为极 角. 3用孤长参数表示圆柱螺线与双曲螺线， 4设曲线C:r=r()不通过原点，r()是C距原点最近的点.且r'(o)+0. 证明r(o)正交于'(o). 5设Cr=r()是参数曲线，m是面定向量.若对任何，(e)正交于m, 且r(O)正交于m,证明对任何，r()正交于m, ·5