2.3曲面的第二基本形式 2.3.8高斯曲率的几何意义 一、高斯映射（球面表示） 二、曲面的第三基本形式 三、高斯曲率的几何意义
2.3 曲面的第二基本形式 2.3.8 高斯曲率的几何意义 一、高斯映射(球面表示） 二、曲面的第三基本形式 三、高斯曲率的几何意义
引入 高斯曲率几何意义研究途径：在3.7节所讨论的高斯曲率的值 所给出的对于曲面的一般弯曲性的分析是从各个方向的法曲 率分布概括出来的 不利用曲面曲线的研究结果，能否直接讨论高斯曲率的几何 意义呢？ 高斯曲率有什么几何意义呢？
高斯曲率几何意义研究途径：在3.7节所讨论的高斯曲率的值 所给出的对于曲面的一般弯曲性的分析是从各个方向的法曲 率分布概括出来的. 不利用曲面曲线的研究结果，能否直接讨论高斯曲率的几何 意义呢？ 高斯曲率有什么几何意义呢？ 引入
一、高斯映射（球面表示） 1.定义 设O是曲面S:r=u,y)上一块不大的区域，另外做一单位 球面！ 对VP∈o做曲面在P点处的单位法向量武u,以 把的始端平移到单位球心，则其另外一段在单位球面 上，设为P (u,v) VP∈O,(u,v),(u,v)∈o<>P'∈单位球面， n(u,v) ocS→o*c单位球面 把曲面上点与球面上的 ni(u,v) 点的这种对应称为曲面的球 面表示，也称为高斯(Gauss) 映射 u,)
* 一、高斯映射(球面表示） 1. 定义 S r u v ( , ) P n n u v ( , ) P' 设 是曲面 上一块不大的区域，另外做一单位 球面. S r r u v : ( , ) = 对 P 做曲面在 P 点处的单位法向量 n u v ( , ). 把 的始端平移到单位球心,则其另外一段在单位球面 上，设为 n P'. ( , ) , ( , ),( , ) ' , n u v P r u v u v P 单位球面 ( , ) * . n u v S 单位球面 把曲面上点与球面上的 点的这种对应称为曲面的球 面表示，也称为高斯(Gauss) 映射. • •
2.高斯映射的表示：n=(u,v) u, 3.在高斯映射下，曲面越弯曲， 球面像越大，反之越小 u,) 4.在高斯映射下，平面的球面像是一个点，圆柱面的球面像是 一个大圆，抛物面的球面像则是一个区域。 5.P在S上描出一曲线ds时，通过球面表示，其对应点P'在单位球 面上也描出对应曲线ds*
* 4. 在高斯映射下,平面的球面像是一个点,圆柱面的球面像是 一个大圆,抛物面的球面像则是一个区域。 2. 高斯映射的表示： n n(u,v) = S r u v ( , ) P n n u v ( , ) P' • 3. 在高斯映射下,曲面越弯曲, 球面像越大,反之越小. 5. P在S上描出一曲线ds时,通过球面表示,其对应点P'在单位球 面上也描出对应曲线ds*
二、曲面的第三基本形式 1.定义：把dn的长度平方称为曲面的第三基本形式，记为 III=ds *2=dn2 edu?+2fdudy +gdv? 实际上就是曲面的球面表示的第一基本形式： 这里 dn2 =(n,du+n,dv)" =n.·nndu2+2n.·n,dudy+i,·n,d2 记e=in·n。,f=in·i,g=i,·i, 叫做曲面的第三类基本量
二、曲面的第三基本形式 1. 定义：把 的长度平方称为曲面的第三基本形式,记为 Ⅲ= dn 2 2 2 2 ds dn edu fdudv gdv * = 2 = + + 这里 2 2 2 2 ( ) 2 u v u u u v v v dn n du n dv n n du n n dudv n n dv = + = + + 实际上就是曲面的球面表示的第一基本形式. 叫做曲面的第三类基本量. 记 u u nu nv g nv nv e n n f = , = , =