2.3曲面的第二基本形式 2.3.2曲面上曲线的曲率 一、法截面与法截线 二、法曲率 三、梅尼埃Meusnier)定理 2.3.3迪潘(Dupin)指标线 一、迪潘(Dupin)指标线 二、迪潘(Dupin)指标线的方程 三、曲面上的点的分类
2.3.3 迪潘(Dupin)指标线 2.3.2 曲面上曲线的曲率 2.3 曲面的第二基本形式 一、法截面与法截线 二、法曲率 三、梅尼埃(Meusnier)定理 一、迪潘(Dupin)指标线 二、迪潘(Dupin)指标线的方程 三、曲面上的点的分类 S ( ) d P ( ) C ( ) C0
2.3.2曲面上曲线的曲率 曲面在已知点邻近的弯曲 性可由它离开曲面的切平面的 快慢来决定，但曲面在不同方 向的弯曲程度是不一样的，即 曲面在不同方向以不同的速度 离开切平面，这一点，我们可 以用曲面上过该点的不同方向 S 的曲线的曲率来研究它在不同 (Co 方向的弯曲程度，而这条曲线 又可用一条较为简单的曲线（如 平面曲线)讨论 或者可用一条更简单的曲 线（如平面曲线）来求得，这 条曲线就是法截线
2.3.2 曲面上曲线的曲率 曲面在已知点邻近的弯曲 性可由它离开曲面的切平面的 快慢来决定，但曲面在不同方 向的弯曲程度是不一样的，即 曲面在不同方向以不同的速度 离开切平面，这一点，我们可 以用曲面上过该点的不同方向 的曲线的曲率来研究它在不同 方向的弯曲程度，而这条曲线 又可用一条较为简单的曲线(如 平面曲线)讨论. 或者可用一条更简单的曲 线（如平面曲线）来求得，这 条曲线就是法截线. S ( ) d P ( ) C ( ) C0
一、法截面与法截线 1.给定类C2的曲面S:F=(u,),(u,v)eG,PeS (C):=(S,=vS)或产=F(u(s),v(s)=F(s) 是曲面上过P的一曲线，曲线在P的切向量与主法向量为，B 则 并=d=邱 (C) 设P点的法向量n与主法向量阝的夹角为0，则 B.n cos0= 同 =B.n
一、法截面与法截线 1. 给定类 的曲面S： （C）：u=u(s),v=v(s) 或 是曲面上过 P 的一曲线，曲线在 P 的切向量与主法向量为 2 C r = r(u,v),(u,v)G, PS. r r(u(s), v(s)) r(s) = = , 设 P 点的法向量 与主法向量 的夹角为 , 则 n P ( ) C n S r = = n n n = = cos 则
并=d=邱 所以 并.i=K邛.n=Kcos0 另一方面 于.n=n dr_id℉_Ⅱ ds2ds2 I kcos0= IⅡLdhu2+2 Mdudy+Ndh2 I Edu2+2Fdudy+Gdy2 注1对曲面上一个给定点及曲面曲线在该点的切方向，上式右 端有确定值 注2对曲面上一个给定点相切的两条曲线，若它们的主法线有 相同方向，则O相同，k也相同 注3做通过曲线(C)在P点的切向量与主法线的平面（密切平面）， 得曲面与平面的截线（平面曲线），其与曲线(C)具有相同的切线 与主法线，因此曲率k也相同.曲面曲线可转化为平面曲线讨论
所以 r n = n = cos = = = 2 2 2 2 ds n d r ds d r r n n Ⅱ 另一方面 注1 对曲面上一个给定点及曲面曲线在该点的切方向，上式右 端有确定值. 2 2 2 2 2 2 cos Edu Fdudv Gdv Ldu Mdudv Ndv + + + + = = Ⅱ (1) r = = 注2 对曲面上一个给定点相切的两条曲线，若它们的主法线有 相同方向，则Ө相同，k也相同. S ( ) d P ( ) C n 注3 做通过曲线(C)在P点的切向量与主法线的平面(密切平面)， 得曲面与平面的截线(平面曲线)，其与曲线(C)具有相同的切线 与主法线,因此曲率k也相同.曲面曲线可转化为平面曲线讨论
2.定义给出曲面上一点P及P点的一切方向du:dw,于是方向(d) 和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的 法截面，这个法截面与曲面S的交线(Co)称为曲面S在P点沿方 向(d)法截线 (d) S
2.定义 给出曲面上一点 P 及P点的一切方向du:dv ，于是方向(d) 和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的 法截面，这个法截面与曲面S的交线(C0)称为曲面S在P 点沿方 向(d)法截线. S ( ) d P 0 ( ) C n