第二章曲面论 1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2、曲面的第一基本形式（第一基本形式、曲线的弧长、 正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换) 3、曲面的第二基本形式（第二基本形式、曲面曲线的 容提要 曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等) 4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯一波涅 公式、曲面上向量的平行移动) 7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗 氏几何)
第二章 曲面论 内 容 提 要 1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、 正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换） 3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的 曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等） 4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅 公式、曲面上向量的平行移动） 7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗 氏几何）
第一节 曲面的概念 1、1简单曲面及其参数表示 一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线。约当曲线将平面分成 两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的 , 另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部 称为初等区域。如矩形的内部、园的内部等。 二、简单曲面 如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一 的、在上 的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为简 单曲面。 今后我们所用的都是简单曲面或曲面。 如：一矩形纸片（初等区域)可以卷成有裂缝的园柱面。如果它 是橡皮膜，还可变成园环面
第一节 曲面的概念 1、1 简单曲面及其参数表示 一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线。约当曲线将平面分成 两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的， 另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部 称为初等区域。如矩形的内部、园的内部等。 如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上 的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为简 单曲面。 今后我们所用的都是简单曲面或曲面。 如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的园柱面。如果它 是橡皮膜，还可变成园环面。 二、简单曲面
三、曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,y),它的拓朴象为曲面S, 其上的点的笛氏坐标为(x,yz）,故有 x=fi(u,v),y=f(u,v),z=f3(u,v),(u,v)EG 称为曲面S的参数表示或参数方程，和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标。习惯上写作 x=x(u,v),y=y(u,v),=2(u,v),(u,v)EG 例：园柱面；球面；旋转面。 四、坐标曲线；曲纹坐标网。 曲面上一点P的直角坐标为(x,y,z),它的曲纹坐标为 (u,v)。现在取 v=常数而u变化时的曲线叫u-曲线（线）}两族坐标曲线在曲 u=常数而v变化时的曲线叫v-曲线（线) 面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一 点P,两族曲线中各有一条经过它。（例题)
三、曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓朴象为曲面S， 其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x = f1 (u,v) , y = f2 (u,v) , z = f3 (u,v) , (u,v)∈G 称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标。习惯上写作 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)∈G 例：园柱面；球面；旋转面。 四、坐标曲线；曲纹坐标网。 曲面上一点 P 的直角坐标为（x , y ,z），它的曲纹坐标为 （u ,v）。现在取 v = 常数而 u 变化时的曲线叫 u -曲线 ( u线） u = 常数而 v 变化时的曲线叫 v -曲线（v线） 面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一 点 P ，两族曲线中各有一条经过它。 （例题） 两族坐标曲线在曲
1、2光滑曲面、曲面的切平面和法线 一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面x=x(u,),y=u,v),z=z(w,)或r=r(uv)中的函数 有直到k阶的连续微商，则称为k阶正则曲面或c类曲面。 c!类的曲面又称为光滑曲面。 2、过曲面上一点(4o,yo)有一条w-曲线：r=r(w,v) 和一条y一曲线：r=r(4o,y),该点处这两条坐标曲线的切向量 为(4o,Vo)= （a,w）,r4,）=(4,） Ou Oy 如果它们不平行，即r,Xr在该点不为零，则称该点为曲面 的正常点
1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线 一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数 有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 类曲面。 类的曲面又称为光滑曲面。 k c 1 c 2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u-曲线： r = r (u,v0 ) 和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) ,该点处这两条坐标曲线的切向量 为 如果它们不平行，即 ru× rv在该点不为零，则称该点为曲面 的正常点。 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 u v v r u v r u v u r r u v u v = =
3、正规坐标网 由ru,r,的连续性，若rnXn在(o,vo)点不为零，则总 存在该点的一个邻域U,使在这个邻域内有Xr,不为零， 于是在这片曲面上，有一族u线和一族v线，它们不相切， 构成一正规坐标网。 4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z=z(x,y)为 事实上，由3，rXr,在(，yo)点不为零，则总存在该点 的一个邻域U,使在这个邻域内有rXr,不为零，故的坐标中 的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0， 即 d(x,y) Ox ou 品 a(u,v) Ox ey 由隐函数定理， x=x(u,),y=y(u,v)在U中存在唯 一的单值连续可微函数u=u(x,y),v=v(x,y),代入得 Z=Z[u(xy以，vx,小=z(x,)
3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总 存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零， 于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不相切， 构成一正规坐标网。 4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z = z ( x , y ), 事实上，由3 ，ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总存在该点 的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，故的坐标中 的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0， 即 由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在唯 一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) , 代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y)。 v y v x u y u x u v x y = ( , ) ( , )