为定义关于随机变量的距离以及极限概 念，引进 定义4.2.1称定义在概率空间（①，EP)上 的具有有限二阶矩的随机变量的全体组成的 集合 H=X EX2]<+0o) 为二阶矩随机变量空间. 注 在H中称X与Y相等，若 P{X=Y}=1 (记为X=Y,a.e.) 电子科技大学
电子科技大学 为定义关于随机变量的距离以及极限概 念, 引进 定义4.2.1 称定义在概率空间(Ω,F,P )上 的具有有限二阶矩的随机变量的全体组成的 集合 H={X | E[|X|2]<+∞} 为二阶矩随机变量空间. 注 在H中称X与Y相等,若 P{X Y } 1 (记为X Y，a.e.)
定理42.1H为线性空间，即设X,Y∈H,则 对任意复数，b,有X+bY∈H. 证：由许瓦兹不等式 {EXYI2≤EX21·EY21<O ElaX+bY'] =a2EIX2]+2a-bEIXY1+b2EIY] s aElx2]+2aElX']EIYP] +b2E[Y2]<0 即有X+bY∈H. 电子科技大学
电子科技大学 定理4.2.1 H为线性空间, 即设X, Y∈H, 则 对任意复数 a, b, 有aX+bY∈H. 证: 由许瓦兹不等式 { [ ]} [ ] [ ] 2 2 2 E XY E X E Y [ ] 2 E aX bY [ ] 2 [ ] [ ] 2 2 2 2 a E X a b E XY b E Y [ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 b E Y a E X a b E X E Y 即有 aX+bY∈H
引理4.2.1对X∈H,令 X=[E(x2)2 10Y X,Y∈H,E(XY)≤E(XY)≤X·Y9 2) X∈H,E(X)≤E(X)≤X. 证由许瓦兹不等式证得()，在(1)中取Y=1得 (2) 引理4.2.2如上定义的‖是范数，即有 1)正定性：X∈H, X≥0，且 电子科技大学
电子科技大学 引理4.2.1 对X∈H , 令 2 1 ˆ [ ( )] 2 X E X 1) X,Y H, E(XY ) E( XY ) X Y ; 2) X H, E(X ) E( X ) X . 证 由许瓦兹不等式证得(1),在(1)中取Y=1 得 (2) 引理4.2.2 如上定义的||·||是范数,即有 1) 正定性：X H， X 0，且
X=0台P{X=0}=1; 2) 齐次性：a∈C,X∈H,aX=laX; 3) 三角不等式：X,Y∈H,X+Y≤X+Y 证(1)和(2)显然 (3)X+YW2=E[X+V2] IX[E(X)川月 ≤EX2I+2 EIXYI+-EIY2I ≤x+2X·Y+Y=(X+Y)2 结论H构成一个线性赋范空间. 电子科技大学
电子科技大学 2) 齐次性：a C,X H，aX a X ; 3) 三角不等式：X,Y H，X Y X Y . X 0 P{X 0} 1； 证 (1) 和 (2)显然. (3) ||X+Y||2=E[|X+Y|2] ≤E[|X|2]+2 E[|XY|]+ E[|Y|2] 2 2 2 X 2 X Y Y ( X Y ) 2 1 ˆ [ ( )] 2 X E X 结论 H构成一个线性赋范空间