中国矿亚大警CHINA UNIVERSITYOF MINING ANDTECHNOLOGYh4rh4) f(x)=x3xdxI4Joh4h411左=右2[0-3h2-+ ah?42h5rhxadx5) f(x)= x4L=二5Joh5hs12[0-4h3左右+ ah?62所以该积分公式具有3次代数精确度
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY [ 0 3 ] 2 2 2 4 1 ah h h I = + − ∫ = h I x dx 0 3 3 4) ( ) f x x = 4 4 h = 4 4 h = [ 0 4 ] 2 2 3 5 1 ah h h I = + − ∫ = h I x dx 0 4 4 5) ( ) f x x = 5 5 h = 6 5 h = 所以该积分公式具有 3次代数精确度
中国矿亚大医CHINA UNIVERSITY OF MININGAND TECHNOLOGYS 2 Newton-Cotes公式求积节点等距分布的插值型求积公式一Newton-Cotes公式考虑插值型求积公式I = f' f(x)dx ~ f' P,(x)dx='2F(x)(x)dx =2(I(x)dx f(x)k=0其中：P,(x)=f(x)(x)为f(x)的Lagrange插值多项式,k=0X-xA, =J'1(x)dx =f'IIxHOXK-X,j+k下面考虑插值节点等距时A的计算：
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 一 公式 Newton-Cotes 求积节点 的 等距分布 插值型求积公式. ( ) b a I = f x dx ∫ ( ) b k k a A = l x dx ∫ 0 n b j a j k j j k x x dx = x x ≠ − = ∏ − ∫ 考虑插值型求积公式 ( ) b n a ≈ P x dx ∫ 0 () ( ) () () Lagrange n n kk k 其中： 为 的 插值多项式， Px fx l x fx = = ∑ 0 ( ) () n b k k a k f x l x dx = = ∫ ∑ ( ) 0 () ( ) n b k k a k l x dx f x = = ⋅ ∑ ∫ 下面考虑插值节点等距时 的计算： A k §2 Newton-Cotes公式
b-a节点x,=a+kh(k=0,1,.,n),则将[a,b]n等分，步长h：n换元-Xj(a+th)-(a+jh)A,=J'I1J'11d(a+th)x=a+thut-x(a+kh)-(a+ jh)滋I(t-j)(t-j)hJ"hdtj=0.(k-j)hhdt1k(k-1)(k-2)...(k - k+1)-(k- k-1).-(k- n)1(t-j)(-1)"-R"II(t-j)dtj=0,j+kdt=h=hk!(n-k)!Jo0k! (-1)"-*(k - n)!OsjSnjk(-1)"-kII (t- j)dt =(b-a).C(n)=(b-a).n.k!.(n-k)!CO≤jSnjtk(-1)"-k其中C(n)=II(t-j)dt，称为Cotes系数.n.k!.(n-k)!o≤jSmj+k
[ , ] ( 0,1, ,n) k b a a b n h x a kh k n 将 等分，步长 ，节点 ，则 " − = =+ = 0 n b j k a j k j j k x x A dx = x x ≠ − = ∏ − ∫ 0 0 ( ) ( ) n n j j k t jh hdt = k jh ≠ − = ⋅ ∏ − ∫ x a th = + 0 0 ( )( ) ( ) ( )( ) n n j j k a th a jh d a th = a kh a jh ≠ + − + + ∏ + −+ ∫ 换元 0, 0 ( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( ( ) ) n n j jk t j h k k kk kn dt kk k = ≠ − − −+ ⋅ − − − Π − = ∫ " " 0, 0 ( 1) ( ( ! )! ) n n j jk n k k j h d k n t t = ≠ − Π − = ⋅ − − ∫ 0 0 ( 1) ( ) ! ( )! n k n j n j k h t j dt k nk − ≤ ≤ ≠ − =⋅ − ⋅ − ∫ ∏ 0 0 ( )1 ( ) () ! ( )! n k n j n j k ba t j dt nk n k − ≤ ≤ ≠ − =−⋅ − ⋅⋅ − ∫ ∏ ( ) ( ) n k = baC − ⋅ 0 0 ( ) ( )1 ( ) ! ( Cote ! s ) n k n n k j n j k C t j dt nk n k − ≤ ≤ ≠ − − 其中 = ，称为 系数. ⋅⋅ − ∫ ∏
(-1)"-kC(n)-中国矿大华CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOC"I(t-jdt1n.k!.(n-k)!ojSn：n阶Newton-Cotes公式为jtkI, =ZA(x) =(b-a),Zc(" f(xx)k=0k=0注：C(n)与f(x)和积分区间均无关！y=f(x)y个口几个低阶Newton-Cotes公式1、 n=1时积分区间一等分cl") =-f'(t-1)dt20C(I) =tdt =abx21b-a..I = f' f(x)dx(f(a)+ f(b)12一一梯形公式
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY ∴ 阶 公式为 n Newton-Cotes 0 ( ) n k k k In A f x = = ∑ ( ) 0 ( ) () n n k k k b a C fx = =−⋅ ∑ ( ) ( ) n 注： 与 和积分区间均无关！ C fx k 几个低阶 公式 . Newton-Cotes 1 1 、 时 n = 积分区间一等分 0 0 ( ) ( )1 ( ) ! ( )! n k n n k j n j k C t j dt nk n k = − ≤ ≤ ≠ − − ⋅⋅ − ∫ ∏ 1 (1) 0 0 C t dt =− − ( 1) ∫ 1 (1) 1 0 C tdt = ∫ ( ) b a ∴ I = f x dx ∫ ( ( ) ( )) 2 b a fa fb − ≈ + -梯形公式 1 2 = 1 2 =