中国矿亚大业CHINAUNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGY例3试确定积分公式I =I' f(x) ~ Af(x)+Af(x)中的参数A，A，x，x，使其代数精度尽量高，并求代数精度。问题：该公式的代数精度最高可达多少？思考提示：1有几个待定参数？CC2可列几个方程？0东V3答案：A=A=1, X=-x,3代数精度n=3.备注：使代数精度达到最高的数值求积公式，称为Gauss公式s4中介绍）推广：有n个节点的求积公式，精度最高可达多少？
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 思考 问题：该公式的代数精度最高可达多少？ 1 2 有几个待定参数？ 提示 可列几 ： 个方程？ 例 试确定积分公式 3 12 1 2 3 1 3 3. AA x x n = = =− = = ， ； 代数精度 答案： Gauss ( . 4 ) 使代数精度达到最高的数值求积公式， 称为 式 注 公 备 ： § 中介绍 1 11 22 1 I f x Af x Af x () ( ) ( ) − =≈+ ∫ 1 21 2 中的参数 , , ， AAxx , 使其代数精度尽量高,并求代数精度。 推广：有 个节点的求积公式,精度最高可 n 达多少？
中国矿亚大鉴CHINA UNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY三、插值型求积公式在积分区间[a,b]上取一组节点α≤x<x<…<x≤b且已知f(x),则可求f(x）的n次插值多项式不同的P,(x)=Ef(x)k(x)插值方法有不同的k=0基函数l(x)(k=0,1,.,n)为插值基函数I =f" f(x)dx ~ f" P,(x)dx= f"Zf(x)(x)dxk=0=2'1(x)dxf(x)k=0
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 三、插值型求积公式 在积分区间 [ a , b ]上取一组节点 a x x x b ≤ 0 < 1 < " < n ≤ n n kk k P x f xlx 0 () ( )() = = ∑ lk ( x)( k = 0 , 1 , " , n )为插值基函数 且已知 f ( ) xi ,则可求f (x ) 的 n次插值多项式 不同的 插值方法 有不同的 基函数 ( ) b a I = f x dx ∫ ≈ ( ) ∫ b n a P x dx 0 ( ) () = = ∫ ∑ n b k k a k f x l x dx 0 ( ) ( ) = = ∑ ∫ n k k b k a l x dx f x
中国矿亚大整CHINA UNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGY若计 _A =['(x)dx ,则I=J' f(x)dx =ZA(x)≥ I.k=0称之为插值型求积公式。求积余项为R, = I -In = (If(x)- P,(x)dx(5)I1(x-xx)dx(n+1)!k=0
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 称之为插值型求积公式。 若计 = ∫ ， 则 b a k k A l ( x )dx = ( ) ∫ b a I f x dx R II n n = − 0 ( ) = ≈ ∑ n kk n k A fx I 求积余项 为 [ ( ) ( )] b n a = − f x P x dx ∫ ( 1) 0 ( ) ( ) ( 1)! n n b k a k f x x dx n ξ + = = − ∫ + ∏
中国矿大业CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY定理2：具有n+1个节点的数值求积公式I = F' f(x)dx ~ZAkf(x)≤ 1,k=0是插值型求积公式的充分必要条件为该公式至少具有n次代数精度。例4 已知 x, =1 / 4,x, =1/2,x, =3 /4(1)推导以这三个点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；(2)指明求积公式所具有的代数精度；x'dx(3）用所求公式计算0
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 定理 2：具有 n+1个节点的数值求积公式 0 () ( ) n b kk n a k I f x dx A f x I = = ≈ ∫ ∑ 是插值型求积公式的充分必要条件为该公式至少具有 n次代数精度。 例4 已知 012 xxx = 1/ 4, 1/ 2, 3 / 4 = = (1)推导以这三个点为求积节点在[0,1]上的插值型 求积公式； (2) 指明求积公式所具有的代数精度； (3) 用所求公式计算 1 2 0 x dx ∫
中国矿亚大医CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY例4.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高1()=I' ()dx ~_r(0)+ (h) + ah'[7()- f(h)= 1(f)2I =["xdx= h左=右I,= h解:1) f(x)=1h?h?x'dxI=左=右2) f(x)= xl112JO23) (x)=x2h3h3=-2a)h2[0-2h]='xdxabI=一231令I=I,a :-12
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例4. 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高. [ ( 0 ) ( )] [ ( 0 ) ( )] ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 0 f f h ah f f h I f h I f f x dx h = ≈ + + ′ − ′ = ∫ ∫ = h I x dx 0 0 解: 2 2 1 h I = [ 0 2 ] 2 2 3 1 ah h h I = + − 1) ( ) 1 f x = = h I1 = h ∫ = h I x dx 0 1 1 2) ( ) f x x = 2 2 h = ∫ = h I x dx 0 2 2 3) ( ) f x x = 3 3 h = 3 2 ) 2 1 = ( − a h 1 令 I = I 12 1 a =