11.1格的定义与性质 豪 口定理:设<L,>是一格,则对于所有的ab∈L a≤b÷→a∧b=a<aVb=b 口定理:设<,《>是一格,则对于所有的a,b cd∈L 令a≤b且d≤c→(avd)≤(bvc) ☆a≤b且d<c→(a∧d)(b∧c)
11 ❑ 定理：设<L, ≼>是一格，则对于所有的a,b∈L a≼ba∧b=aa∨b=b ❑定理：设<L, ≼>是一格，则对于所有的a,b， c,d∈L ❖ a≼b且d≼c (a∨d)≼(b∨c) ❖ a≼b且d≼c (a∧d)≼(b∧c) 11.1 格的定义与性质
11.1格的定义与性质 豪 口定理:设<L,是一格,则对于所有的a,b,c∈L 有 (1)交换律:avb=bva,a∧b=b∧a (2)结合律:(avb)vc= av(bvo) (a∧b)∧c=a∧(b∧c) (3)幂等律:ava=a,a∧a=a (4)吸收律:av(aAb)=a,a^(avb)=a 12
12 ❑定理：设<L, ≤>是一格，则对于所有的a,b,c∈L 有： （1）交换律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a （2）结合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c) (a∧b)∧c=a∧(b∧c) （3）幂等律：a∨a=a，a∧a=a （4）吸收律：a∨(a∧b)=a，a∧(a∨b)=a 11.1 格的定义与性质
11.1格的定义与性质 豪 证明结合律:(avb)vc= av( bvo) (avb)c>avb≥a (avb)c>avb≥b (avb)Vc≥c∴(avb)c≥bvc ∴.( avb)vc≥av(bvc) 同理 av(bvc)≥(avb)vc 因为≥的反对称性,( avb)vc= av(bvo) 13
13 证明结合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c) (a∨b)∨c ≽ a∨b ≽ a (a∨b)∨c ≽ a∨b ≽ b (a∨b)∨c ≽ c ∴ (a∨b)∨c ≽ b∨c ∴ (a∨b)∨c ≽ a∨(b∨c) 同理a∨(b∨c) ≽ (a∨b)∨c 因为≥的反对称性，(a∨b)∨c=a∨(b∨c) 11.1 格的定义与性质
11.1格的定义与性质 豪 从现在开始讨论代数系统的格,把格看成是一个特 殊类型的代数系统。 口格的另一种定义:设<L,⊕>是一个代数系统 L是一非空集合,*和⊕是L上的二个二元运算。 若“和⊕满足交换律,结合律,幂等律,吸收律 ,则称此代数系统为格 为什么可以这么定义? 14
14 从现在开始讨论代数系统的格，把格看成是一个特 殊类型的代数系统。 ❑格的另一种定义：设<L,*, >是一个代数系统， L是一非空集合，*和 是L上的二个二元运算。 若*和 满足交换律，结合律，幂等律，吸收律 ，则称此代数系统为格 11.1 格的定义与性质 为什么可以这么定义？