11.1格的定义与性质 豪 (f) g a b 6
6 (f) (g) a b (h) a b c d (i) 11.1 格的定义与性质
11.1格的定义与性质 豪 例设S是一集合PS)是S的幂集则<PS),≌是一个 偏序集ⅤAB∈P(S)易证明, A∧B=AnB∈P(S),AVB=A∪B∈P(S) ∴<P(S)≌是一个格。 la, by a, b,c (a, b]. 向c{b, {a}b} [b] S=a] s=a, b] S=a, b, c) 7
7 例:设S是一集合,P(S)是S的幂集,则<P(S),>是一个 偏序集,A,B∈P(S),易证明, A∧B=A∩B∈P(S), A∨B=A∪B∈P(S) ∴<P(S),>是一个格。 {a} S={a} {a,b} {a} {b} S={a,b} {a,b,c } { b,c} {c} {a} {a,b} {b} {a,c} S={a,b,c} 11.1 格的定义与性质
11.1格的定义与性质 豪 例:I是正整数集合,D是整除关系,<I+,D> 是偏序集,va,b∈I, a∧b=最大公约数,ab=最小公倍数 证明:若c是{a,b}的下界,则ca,c≤b,即c 能整除a,能整除b,所以c是a,b的公约数。 若c是{a,b}的最大下界,则c是a,b的最大公 约数。反之,同样可证。 因此,<,D>是格,因为a,b∈I都有最大 公约数和最小公倍数。 8
8 例：I+是正整数集合，D是整除关系，<I+，D> 是偏序集，a，b∈I+， a∧b=最大公约数，a∨b=最小公倍数 证明：若c是{a，b}的下界，则c≤a，c≤b，即c 能整除a，能整除b，所以c是a，b的公约数。 若c是{a，b}的最大下界，则c是a，b的最大公 约数。反之，同样可证。 因此，<I+，D>是格，因为a，b∈I+都有最大 公约数和最小公倍数。 11.1 格的定义与性质
11.1格的定义与性质 豪 所形成的表达式称为的对偶式记 口对偶式:格中元素用运算符∧,连接起来的的 个表达式f,如将f中的^换成v,将换成A 口对偶命题:两个表达式9用关系符≤≥连接成为 命题:将表达式千q用fq代替,≤与≥互换,形 成的命题称为原命题的对偶命题 口例:f=(avb)∧c<C, f=(ab)vc≥c
9 ❑对偶式：格中元素用运算符∧,∨连接起来的的一 个表达式f ，如将f中的∧换成∨ ，将∨换成∧ ， 所形成的表达式称为f的对偶式记作f * ❑对偶命题：两个表达式f,g用关系符≤,≥连接成为 命题，将表达式f,g用f * ,g*代替，≤与≥互换，形 成的命题称为原命题的对偶命题 ❑例：f=(a∨b)∧c≼c， f *=(a∧b)∨c≽c 11.1 格的定义与性质
11.1格的定义与性质 豪 对偶原聖设f是含有格中元素以及符号=,≤,≥ ,V,∧等的命题。若对一切格为真,则f的对 偶命题f也对一切格为真 口例:如果对一切格L,Vab∈Layb)∧c≤C 则f=a入b)c≥C 10
10 设f是含有格中元素以及符号＝，≼，≽ ，∨，∧等的命题。若f对一切格为真，则f的对 偶命题f *也对一切格为真 ❑例：如果对一切格L，a,b L,(a∨b)∧c≼c 则f *=(a∧b)∨c≽c 11.1 格的定义与性质