第四章 不定积分 微分法:F'(x)=(?) 互逆运算 积分法:(?)=f(x)
第四章 微分法: F(x) = ( ? ) 积分法: ( ? ) = f (x) 互逆运算 不定积分
第一节 第四章 不定积分的栊念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第四章
原函数与不定积分的概念 引例:一个质量为m的质点,在变力F= a sint的作 下沿直线运动,试求质点的运动速度v() 根据牛顿第二定律,加喜贴》 n 因此问题转化为:已知v(t)=-sint,求v(t)=? 定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)为/(x) 在区间Ⅰ上的一个原函数 如引例中,sint的原函数有-cost,--cost+3,… 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A
问题: 1.在什么条件下,一个函数的原函数存在? 2.若原函数存在,它如何表示? 定理1.若函数f(x)在区间上连续,则f(x)在I上 存在原函数 (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内 证:1)∵(F(x)+Cy=F(x)=f(x) F(x)+C是f(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数,即 d'(r)=f(r) 又知 F'(x)=f(x) [Φ(x)-F(x)=Φ(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C(C0为某个常数) 即Φ(x)=F(x)+C属于函数族F(x)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [(x) − F(x)] = (x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0为某个常数 即 0 (x) = F(x) +C 属于函数族 F(x) +C . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即