第二节 第九章 二重积分的计算法 利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章
、利用直角坐标计算二重积分 由曲顶柱体体积的计算可知,当被积函数f(x,y)≥0 且在D上连续时,若D为ⅹ-型区域 yy=p2(x) D.01(x)≤ys2(x) D a<x<b 则「0(x,y)dxdy= 2(x) y=0,Grb x f(, y)dy D dx 1(x) 若D为Y型区域D:1(y)≤x≤v2(y) V2(y) C≤y 则nf(x,y)dxdy=d (y) f(x, ydx ol XX D 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 当被积函数 f (x, y) 0 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 D f (x, y)dxdy f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x o b x y D a x 若D为Y –型区域 c y d y x y D ( ) ( ) : 1 2 y ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y x d o c y f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 d c 则 d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当被积函数f(x,y)在D上变号时,由于 f(, y) f(x,y)+f(x, y) f(x,y)-f(x,y) 2 fi(x, y) f2(x,y)均非负 J,S(x, y)dxdy=J,M(x,y)dxd f2(r, y)dxd 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
当被积函数 f (x, y) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:(1)若积分区域既是X型区域又是γ-型区域 则有∫/(xy)ddy y三2(x) d f(x, y)dy x=vy P1 D y彐0 d f(x, y)dx v1(y) b 为计算方便可选择积分序,必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂,可将它分成若干y X型域或Y型域,则 D D D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o x y 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x o x y D a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 , = + + D D1 D2 D3 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1计算=xyda其中D是直线y=1,x=2,及 D y=x所围的闭区域 1≤y≤x 解法1.将D看作X型区域,则D 1≤x≤2 1=∫ddy=x2rax Y=X ∫[x3-x1d 8 01x2x 解法2.将D看作Y型区域,则D y≤x 1≤y≤2 2 i=Ldyl xydx 1x2y1y=-y=y31 8 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 dy 例1. 计算 d , = D I xy 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1 y x 1 x 2 y x 2 1 y 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束