第三节 第五章 定积分的换元法和 分部积分法 不定积分 ∫换元积分法 定积分换元积分法 分部积分法 分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章
定积分的换元法 定理1.设函数f(x)∈(Ia,b],单值函数x=0()满足 1)o(tECla, B, (a=a,(B)=b 2)在[a,B]上a≤()≤b, a f(x)dx=f[o(tlo(t)dt 证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 且它们的原函数也存在设F(x)是f(x)的一个原函数 则F[q(t)是f[()]9()的原函数,因此有 f(r)dx=F(b)-F(a)=Fl(B)]-Flola) a Lo(1o(dr HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1 t C 2) 在 [ , ] 上 () = a,() = b; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则
b f(xdx fio(tlo(tdt 说明: 1)当B<a,即区间换为[B,a时,定理1仍成立 2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回 3)换元公式也可反过来使用,即 010(0)9(Odr=/(x)dx(令x=) 或配元n(od=Jl()d() 配元不换限 HIGH EDUCATION PRESS 10°a8
说明: 1) 当 < , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令x =(t)) b a ( )d = 或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (t) (t) (t) (t)
例.计算∫a2-x2dr(a>0) 解:令x= asin,则dx= a costed,且 当x=0时,t=0;x=a时,t= a -x 原式=a22cos2tdt 0,C (1+ cos 2t)dt O a x (t+sin 2t 04 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且
例2计算2x+14x 解:令t=√2x+1,则x dx=tdt,且 当x=0时,t=1;x=4时,t=3 +2 原式 tdt (t2+3)d 322 +3t) 23 13 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2 + − (t 3)dt 2 1 3 1 2 = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且