同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第五章 定积分（5.1）定积分的概念及性质

第五章 定积分 不定积分 积分学 定积分

第五章 积分学 不定积分 定积分 定积分

第一节 第五章 定积分的欐念及性质 定积分问题举例 定积分的定义 定积分的性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结東

第一节 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第五章

定积分问题举例 h 矩形面积=ah 梯形面积=(a+b) a b 1.曲边梯形的面积 h 设曲边梯形是由连续曲线y↑ y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0 及x轴,以及两直线x=a,x=b 所围成,求其面积A X b HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y  f (x) ( f (x)  0) 及 x轴，以及两直线 x  a, x  b 所围成 , 求其面积 A . A  ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y  f (x) 矩形面积 a h  a h a h 梯形面积 ( ) b 2 a b h  

解决步骤: 1)大化小.在区间[a,b中任意插入n-1个分点 a=xo <x1<x2< .<xn-1<xn=b 用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取;∈[x-1,x; 作以[x1,x;为底,f(;) 为高的小矩形,并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△41,得 o a X bx A1≈f(51)Ax;(Ax;=x1-x1-1,i=1,2…,n) 学 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

1x i x i1 a x b x y o 解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b  0  1  2  n1  n  [ , ] i i 1 i x x    用直线 i x  x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以[ , ] i 1 i x x  为底 , ( ) i f  为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 , Ai 得 ( ) ( )  i  i  i  i  i  i1 A f  x x x x , i 1,2,,n )  i 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)近似和 A=∑△1≈∑f()Ax i=1 4)取极限.令λ=max{4x;},则曲边梯形面积 1<i<n A=lim>△A ->0 i∑f()Ax ->0 o a x1 xi-lxi bx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结東

3) 近似和.     n i A Ai 1     n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 max{ }, 1 i i n  x    则曲边梯形面积      n i A Ai 1 0 lim       n i i i f x 1 0 lim ( )  机动 目录 上页 下页 返回 结束 a b x y o 1x i x i1 x  i