同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第二章 导数与微分（2.5）微分

第五节 第二章 函数的微分 一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第五节 一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章

微分的概念 引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其 边长由x变到x+△x,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x取 得增量Δx时,面积的增量为 △4=(xo+△x)2-x △x =2x0△x+(Ax)2 关于Ax的x→>0时为x0 A 线性主部高阶无穷小 故△4≈2x0Ax 称为函数在x0的微分 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义:若函数y=f(x)在点x的增量可表示为 △y=f(x0+△x)-f(x0)=A△x+O(△x) (A为不依赖于x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微,而AAx称为f(x)在 点x的微分记作dy或df,即 dy=A△x 定理:函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x0处可导,且A=f(x0),即 dy= f(oAx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理:函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导,且A=f(x0),即 dy=f(xo)△x 证:“必要性 已知y=f(x)在点x可微,则 △y=f(x0+△x)-f(x0)=AAx+O(△x) △ lim 0(△x) lim(A+7)=A △x→>0△x△x→>0 △x 故y=f(x)在点xo的可导,且∫(x0)=A HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理:函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导,且A=f(x0),即 dy=f(xo)△x “充分性”已知y=f(x)在点x0的可导,则 △ im=f(o) △x→>0△x △ =f(o)+a( lim a=0) x 故△y=f(xo)△x+a△x=f(x0)△x+o(△x) 线性主部(f(x0)≠0时) 即dy=f(xo)△x 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 =  →  x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x  线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束