第五节 第五章 反常积分的审敛法 工函数 反常积分无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、无界函数反常积分的审敛法 第五节 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分的审敛法 函数 第五章
无究限反常积分的审敛法 定理1.设f(x)∈Ca,+∞),且f(x)≥0,若函数 F(x)=f(td 在a+∞)上有上界,则反常积分∫f(x)dx收敛 证:f(x)≥0,F(x)在[a,+∞)上单调递增有上界, 根据极限收鲛准则知 x lim F(x)=lim f(dt x→+0 x→)+0 存在,即反常积分f(x)dx收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、无穷限反常积分的审敛法 定理1. 若函数 = x a F(x) f (t) d t 则反常积分 ( )d 收敛. + a f x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据极限收敛准则知 →+ →+ = x x x a lim F(x) lim f (t) d t 存在 , 即反常积分 ( )d 收敛 . + a f x x
定理2.(比较审敛原理)设f(x)∈C[a,+∞),且对充 分大的x有0≤f(x)≤g(x),则 8(x)dx收敛 f(x)dx收敛 + f(x)dx发散 g(x)dx发散 C 证:不失一般性,设x∈[a,+∞)时,0≤f(x)≤g(x) 若g(x)d收敛,则对t>a有 ∫(x)dxs∫g(xdsg(d 故「f(x)dx是t的单调递增有上界函数,因此 学 HIGH EDUCATION PRESS 10°a8
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x)C[a, + ), 分大的x有 且对充 0 f (x) g(x) , 则 g x x收敛 a ( )d + g x x发散 a ( )d + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 不失一般性 , 则对t a有 f x x t a ( )d g x x t a ( )d 故 f x x是 t 的 t a ( )d 单调递增有上界函数 , 因此
lim f(x)dx f(x)dx t→+∞a 极限存在,即反常积分f(x)d收敛 若∫f(x)d发散,因为t>a时有 0≤J/(x)dxs∫g(x)dx 令t→+∞,可见反常积分g(x)dx必发散 +∞ 收敛,p>1 说明:已知 d (a>0) 发散,p≤1 故常取g(x)=-(4>0)作比较函数,得下列比较审敛法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
f x x f x x a t t a lim ( )d ( )d + →+ = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 已知 得下列比较审敛法. 极限存在
定理3.(比较审敛法1)设非负函数∫(x)∈C{a,+∞) (a>0) 1)若存在常数M>0,P>1,使对充分大的x有 f(x) P ∞ f(x)dx收敛; 2)若存在常数N>0,P≤1,使对充分大的x有 (x)≥N 则∫。f(x)dx发散 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理3. (比较审敛法 1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 p x M f (x) p x N f (x) p 1, p 1