习题倮 第六章 定积分的应用 1.定积分的应用 几何方面:面积、体积、弧长、表面积 物理方面:质量、作功、侧压力、引力 转动惯量 2.基本方法:微元分析法 微元形状:条、段、带、片、扇、环、壳等 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
习题课 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、体积、弧长、表面积 . 物理方面 : 质量、作功、侧压力、引力、 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、段、带、片、扇、环、壳 等. 转动惯量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第六章
例.求抛物线y=1-x2在(0,1)内的一条切线使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解:设抛物线上切点为M(x,1-x2) 则该点处的切线方程为 B Y-(1-x2)=-2x(X-x) M 它与x,y轴的交点分别为 4(x2+,O),B(0,x2+1) 2x 所指面积 s(x) (x2+1)2 (1-x2)dx (x-+1) 4x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
S"(x)=4x (x2+1)·(3x2-1) 令S(x)=0,得[0,1上的唯驻点x=3 B x<3,S(x)<0 M x>3,S(x)>0 x 因此x=是S(x)在[0上的唯一极小点, 且为最小点.故所求切线为 2√34 Y X+ 3 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2设非负函数f(x)在[0,1上满足xf(x)=f(x) +2x2,曲线y=f(x)与直线x=1及坐标轴所围图形 面积为2 (1)求函数f(x); 2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体 体积最小? 解:(1)当x≠O时,由方程得 xf(x)-f(r) 3 f(x) 即[ 故得(x)=ax2+Cx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又2=f( X)ar ax+Cx)dx C=4-a f(x)=ax2+(4-a)x (2)旋转体体积 丌;1 V=L If(x)dr a2+a+16 310 令V a+1)=0,得a=-5 O 35 又 >0 15 a=-5为唯一极小点,因此a=-5时取最小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . x o y 1 x o y 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束