第三节 第四章 分部积分法 由导数公式(n)='v+ny 积分得: uv=uvdx+luy'dx uv'dx=uv-lu'vdx 分部积分公式 或 udv=uv d 选取u及v(或dv)的原则 1)v容易求得; 2)jr比∫anvd容易计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第三节 由导数公式 (uv) = u v + uv 积分得: uv = u vdx + uv dx 分部积分公式 uv dx uv u v dx = − 或 ud v uv v du = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四章
例1求| xcos x dx 解:令〃=x,ν=C0Sx 则′=1,=sinx 原式=xsnx-| sinx dx sinx+cosx +o 思考:如何求 x sinx dx? 提示:令W=x2,v=sinx,则 原式=-x2cosx+2| xcos x dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 求 解: 令 u = x, v = cos x, 则 u =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x − sin x dx = xsin x + cos x +C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v = sin x, 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2求 x Inxdx 解:令l=nx,v=x X 原式=1xm 2 xInx-=x+c 4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 求 x ln x dx. 解: 令 u = ln x, v = x 则 , 1 x u = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2 − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3求| x arctanx dx 解:令u= arctan x,v'=x 则 1+x 原式=1,2 x arctan d入 +x x arctan 」J(-,、2)d -x arctanx-(x-arctan x)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例3. 求 x arctan x dx. 解: 令 u = arctan x, v = x 则 , 1 1 2 x u + = 2 2 1 v = x ∴ 原式 x arctan x 2 1 2 = + − x x x d 2 1 1 2 2 x arctan x 2 1 2 = + − − x x ) d 1 1 (1 2 1 2 x arctan x 2 1 2 = − (x − arctan x) +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4求|e sinx dx 解:令l=sinx,y=ex,则 L三coSx,V=已 原式= e sinx e cosx ax 再令u=C0sSx,v=e2,则 sInx. v三已 e sin x-e cos x-e sin x dx 故原式=e(sinx-COSx)+C 说明:也可设u=e,v为三角函数,但两次所设类型 必须一致 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4. 求 e sin x dx. x 解: 令 u = sin x, x v = e , 则 u = cos x, x v = e ∴ 原式 e x x = sin − e x x x cos d 再令 u = cos x, x v = e , 则 u = −sin x, x v = e e x x = sin − e x − e x x x x cos sin d 故 原式 = e x x C x (sin − cos ) + 2 1 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束