第一节LP空间简介 对任意f,g∈(E)及a,B∈R,显然+g仍 是E上的可测函数,由于对任意实数a,b有 la+b|≤2max{a|,|b|}, 所以 af(x)+Bg(x)l<2 max af()p, Bg(xP) ≤2(c|2f(x)P+BPg(x
第一节 L p -空间简介 对任意 ，显然 仍 是E上的可测函数，由于对任意实数 ，有 1 f , g L (E) , R p 及 f + g a,b | a + b | 2max{| a |,| b |}, 所以 | ( ) ( )| 2 max{| ( )| ,| ( )| } p p p p f x + g x f x g x 2 (| | | ( )| | | | ( )| ) p p p p p f x + g x
第一节LP空间简介 因此不难看出af+B∈D(E 从(E)的定义,启发我们以下面的方式定义Z(E) 上的距离;p(,g)=[f(x)-8(x)dy 由上面的讨论,显见对任意f,g∈L(E有 0≤p(f,g)<+∞
第一节 L p -空间简介 因此不难看出 。 从 的定义，启发我们以下面的方式定义 上的距离： 由上面的讨论，显见对任意 ，有 f g L (E) p + L (E) p L (E) p p E p p f g f x g x dx 1/ ( , ) [ | ( ) ( )| ] = − f , g L (E) p 0 ( f , g) +
第一节LP空间简介 即p是L(E)×(E)上非负的有限函数。它是不是D(E) 上的距离呢?为此,设p(,g)=0,则得 |f(x)-g(x)d1=0, 于是1(x)-g()=0,进而 f(x)-g(x)=0a.eE] 由此立得f(x)=g(x)a,e,[E] 另一方面,若 f(x)=f(x)aeE g(x)=g(x)ae [E]
第一节 L p -空间简介 即 上非负的有限函数。它是不是 上的距离呢？为此，设 ，则得 ， 于是 ，进而 由此立得 另一方面，若 L (E) L (E) p p 是 L (E) p ( f , g) = 0 [ | ( ) ( ) | ] 0 1 − = p E p f x g x dx [ | ( ) − ( )| = 0 E p f x g x dx | f (x) g(x)| 0 a.e.[E]. p − = f (x) = g(x)a.e.[E]. ( ) ( ) . .[ ] f x = f 1 x a e E ( ) ( ) . .[ ] g x = g1 x a e E