山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 数学期望

福定 义 4.1.1离散型随机变量X的分布律为P[X=x}=Pk，k=1,2,..，若级数x,Pk绝对收敛，则称级数k=1即ZxiP的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),k=1E(X)-Ex Pr:k=1说明(1)E(X)是一个实数，而非变量.它是一种加权平均，与一般的算术平均不同级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而(2)改变，之所以这样要求，是因为数学期望用来反映随机变量X的取值的平均值，它不应随所取值的排列次序而改变001018中个不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 6

S定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分xf(x)dx绝对收敛，则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)= J x f(x)dx.E(X)，即例1谁的技术比较好？甲、乙两射手成绩分布律如下：8９10X8９910Y0.3 0.1 0.40.2 0.5 0.3PkPk解E(X)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3E(Y)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1甲的技术比较好。001018个不高数学工作室不不不

高等数学工作室 7 E(X)  8 0.3  9 0.1 10 0.6  9.3, X pk 8 9 0.3 0.1 10 0.4 Y pk 8 9 0.2 0.5 10 0.3 E(Y )  8 0.2  9 0.5  10 0.3  9.1

例2发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元．设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个,奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元。每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润解设每张彩票中奖的数额为随机变量X，X1000050001010001000pk0.010.00001 0.00002 0.0001 0.001cE(X)=10000×0.00001+5000×0.00002+1000x0.0001+100×0.0001+10×0.0011 = 0.5.每张彩票平均可赚2-0.5-0.3=1.2，因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为120000元001018个不个高等数学工作室不不不

高等数学工作室 8  0.5. E(X)  10000 0.00001 5000 0.00002  1000 0.0001 100 0.0001 10 0.001 X p k 10000 5000 1000 100 10 0.00001 0.00002 0.0001 0.001 0.01 0 c