第五章大数定律与中心极限定理S1大数定律依概率收敛切比雪夫大数定律三、辛钦大数定律四、伯努利大数定律08
第五章 大数定律与中心极限定理 §1 大数定律 一、依概率收敛 二、切比雪夫大数定律 三、辛钦大数定律 四、伯努利大数定律
引言第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，这种稳定性正是大数定律的客观背景008不不不高等数学工作堂不不
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?、依概率收敛定义5.1.1 设(X,}是一个随机变量序列，X为一个随机变量，若对任意的 ε>0,有lim P[X,-X ≥}=0则称随机变量序列:X,依概率收敛于随机变量 X，记X,-P→>X定义 5.1.2 设IX,是一个随机变量序列，μ为一个确定的常数，若对任意的ε>0，有lim PlX,-μ≥}=0,则称随机变量序列(X,依概率收敛于μ，记X，-P→μ性质(1) 若X,P→a，Y,-P→>b，则X,Y, -P >ab, X, ±Y, P >a±b,YD在X，≠0,a±0时，有X.0(2)若X,，一P→>a，则对于任意实数 k，有kX，—P→>ka;00108个不个高数学工作室不不不
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(3) 若X,P→a,p(x)在点x=a连续，则p(X,)P→p(a);(4) 若X,P>a，Y,P>b，函数β(x,y)在点(a,b)连续，则p(X,,Y,) -p>p(a,b);(5) X,-P→μ V>0, 有limP(lX, -μ<=}=1.定义 5.1.3 设(X,I为一个随机变量序列，若对于任意n>1，有X,X，,X,相互独立，则称X，为相互独立的随机变量序列;对于任意n>1，有X,X,.,X,独立同分布，则称X为相互独立的随机变量序列001018个不个高等数学工作室不不不
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S例1设X,,X,,X,…为独立同分布的随机变量序列，存在期望与方差: E(X,)=a,D(X,)=α2,2Ex-a证明： n→8时n(n+1))L22nZx.7证 记5，:. E(5)ku=a,n(n +1) k-In(n+1))4ng?4Zrosoty2o2D(5n)= n'(n+1)<(n+ 1)2+由切比雪夫不等式知，对Vε>0，均有4ng?D(5,)Pl5,-a8≤→0(n→8),(n+1)°g?3则lim Pll与，-α< ε}=0， 所证结论成立.22000008不不高等数学工作堂不个
高等数学工作室 5 , ( 1) 2 ( ) 1 k a n n E n k n n k n k n n D 1 2 2 2 2 ( 1) 4 ( ) 0 (n ), n n k 1 2 2 ( 1) 4 , ( 1) 4 2 2 n n