第四章随机变量的数字特征S3协方差、相关系数和矩协方差三相关系数四、n维正态随机变量的重要性质08
第四章 随机变量的数字特征 §3 协方差、相关系数和矩 一、协方差 二、相关系数 三、矩 四、n维正态随机变量的重要性质
引言前面讨论了随机变量的两个数字特征期望和方差，本节讨论描述两个随机变量之间关系的数字特征一一相关系数若随机变量X与Y相互独立，则ELX-E(X)I[Y-E(Y)I= E[X - E(X)IE|Y - E(Y)}=[E(X)- E(X)IE(Y)- E(Y)I= 0,显然，若EIX－E(X)IIY-E(Y)I≠O，则X与Y不独立，而是存在一定关系的0008中不不个高等数学工作室不个
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-一、协方差定义 4.3.1 量EIX-E(X)IY－E(Y)称为随机变量X与Y的协方差， 记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)= EIIX -E(X)I[Y - E(Y)性质1° Cov(X,Y) = Cov(Y,X), Cov(X,X) = D(X);2°D(X + Y) = D(X)+ D(Y) + 2Cov(X,Y) ;D(aX + bY) = a' D(X) + b’ D(Y) + 2abCov(X,Y);3° Cov(X,Y) = E(XY)- E(X)E(Y):E(XY) = Cov(X,Y)+ E(X)E(Y):Cov(aX,bY) = abCov(X,Y);50Cov(X, + X,,Y) = Cov(X ,Y)+ Cov(X2,Y);60Cov(X,c)= 0, Cov(X,Y +c) =Cov(X,Y).00108个不不高等数学工作室不不不
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新30Cov(X,Y) = E(XY)- E(X)E(Y);证 E{[X -E(X)I[Y -E(Y)})= E[XY - XE(Y)-YE(X)+ E(X)E(Y))= E(XY)-E(X)E(Y)- E(Y)E(X)+ E(X)E(Y)= E(XY)-E(X)E(Y)说明 若X、Y相互独立 →Cov(X,Y)=0.o个不个高等数学工作室不个
高等数学工作室 4 E{[X E(X)][Y E(Y )]} E[XY XE(Y ) YE(X) E(X)E(Y )] E(XY ) E(X)E(Y ) E(Y )E(X) E(X)E(Y ) E(XY ) E(X)E(Y ). Cov(X,Y ) 0
福例 1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为X0Y1205/281/565/285/565/285/14求Cov(X,Y).解00211XYYX012Pk|3/2815/285/143/85/8Pk13/285/145/28PkE(X)=5/4, E(Y)=5/8,E(XY)=5/7,15555福而Cov(X,Y)= E(XY)- E(X)E(Y)X748224oo8个个个高等数学工作室不不个
高等数学工作室 5 . 224 15 4 5 8 5 7 5 X pk Y pk XY pk