定理4.3.2.数域F上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维 证:设U,V均为数域F上为n维线性空间,9U={E1,E2,,En}和9v {61,B,…,Bn}分别为U和V的基则对x∈U,可唯一表示成x=∑s 定义U到V的映射σ,它满足对x∈V 可证明它是U→V的线性映射,因为对任意x,y∈U,有 Ciei, y i=1 x+y=(x;+v) 0(x+y)=∑(x;+)A1=∑1+∑v1=0(x)+σ(y) i=1 任意c∈F,x∈U,cx g(cx iBi=co(x) 由上面两式可见映射是U到V的线性映射 现证明a是一一映射:设x1 r1iE1,x2=x2iEi∈U,若 因任何向量在基下的坐标唯一,有x1z=x2(i=1,2,,n),因此x1=x2,由 此是单射的 对任意向量y∈V,y可唯一表示成y=∑v,存在∑vs=x∈U与它 对应,即σ(x)=y,因此σ是满射的.由此证明了a是U→V的一一映射又是 线性映射,因而σ是U到V的同构映射,即U全V
定理 4.3.2. 数域F上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维 数. 证: 设U,V 均为数域 F上为n维线性空间, BU = {ε1, ε2, . . . , εn} 和 BV = {β1, β2, . . . , βn} 分别为U和V 的基. 则对∀x ∈ U, 可唯一表示成 x = Xn i=1 xiεi , 定义U到V 的映射σ, 它满足对 ∀x ∈ V σ (x) = Xn i=1 xiβi 可证明它是U 7→ V 的线性映射, 因为对任意 x, y ∈ U, 有 x = Xn i=1 xiεi , y = Xn i=1 yiεi ∈ U x + y = Xn i=1 (xi + yi) εi σ (x + y) = Xn i=1 (xi + yi) βi = Xn i=1 xiβi + Xn i=1 yiβi = σ (x) + σ (y) 对任意c ∈ F, x ∈ U, cx = Xn i=1 cxiεi , 则 σ (cx) = Xn i=1 cxiβi = c Xn i=1 xiβi = cσ (x) 由上面两式可见映射σ是U到V 的线性映射. 现证明σ是一一映射: 设 x1 = Xn i=1 x1iεi , x2 = Xn i=1 x2iεi ∈ U, 若 σ (x1) = σ (x2) = Xn i=1 x1iβi = Xn i=1 x2iβi 因任何向量在基下的坐标唯一, 有 x1i = x2i(i = 1, 2, . . . , n), 因此 x1 = x2, 由 此σ是单射的. 对任意向量y ∈ V , y 可唯一表示成y = Xn i=1 yiβi , 存在 Xn i=1 yiεi = x ∈ U 与它 对应, 即σ (x) = y, 因此σ是满射的. 由此证明了σ是U 7→ V 的一一映射又是 线性映射, 因而σ是U到V 的同构映射, 即U ∼= V . 11
反之,若U坐V,则存在r:U→V的线性一一映射,r-1是V到U的一 线性映射.且将线性空间的零向量0u映射到V的0v.(因0=0x,所 以r(0)=7(0x)=0(x)=0v),同理r-1将0v映射到0 设m=dimU≠dimV=n,不妨设m≥n.设E1,E2,,Em是U的一个基, 在线性映射r下,令 2,…,m 因r是双射,所以r1(y)=E1.现假设向量组{yi}a=1线性相关,则存在不全 为零的一组数c(=1,2,,m)使得 0v,则 c;E=r-1(0v)=0U i=1 若c不全为零与是U的一个基矛盾,因此y线性无关,由此dimV只能等 于m=dimU 定理4.33.同构是线性空间空间之间的一种等价关系 证:(1)线性空间V自身之间恒等映射是v→V的同构映射,因此,同构关系是自 反的 (2)若线性空间veW,则存在V→W的一一映射σ,则σ-1就是W→V的 同构映射,因此,同构关系是对称的 (3).若线性空间U坐V,V坐W,则存在映射σ,T分别是U→V和V→W的 同构映射,则roa是U→W的同构映射,因而同构关系是传递的 如上所证,同构关系有自反、对称、传递的性质,所以它是线性空间之间的等 价关系 设9={=1;E2,…,En)是线性空间V的一个基,x是V的任意向量,用区x]y表 示x在基下的坐标,用[Vl9表示V中所有向量在基下的坐标构成的集合,因为关 于坐标的加法和数乘满足线性空间的定义,因此]是线性空间 定理4.3.4.设9是线性空间V的基,[V]9是V中所有向量在基下的坐标构成的集 合,则VⅣ] 证明略 两个同构的空间虽然术语或记号可能不同,但都作为线性空间往往可以不加区分, 每一个V中的计算可以等同的出现在Vlg中,所以,利用坐标亦可研究向量组的线性 相关性 例23.证明团2中的多项式1+22,4+t+52,3+2是线性相关的
反之, 若 U ∼= V , 则存在τ : U 7→ V 的线性一一映射, τ −1 是V 到U的一 一线性映射. 且τ将线性空间的零向量0U映射到V 的0V . (因0U = 0x, 所 以τ (0U ) = τ (0x) = 0τ (x) = 0V ), 同理 τ −1将0V 映射到0U . 假设m = dim U 6= dim V = n, 不妨设m ≥ n. 设ε1, ε2, . . . , εm是U的一个基, 在线性映射τ下, 令 yi = σ (εi), i = 1, 2, . . . , m 因τ是双射, 所以τ −1 (yi) = εi . 现假设向量组{yi} n i=1 线性相关, 则存在不全 为零的一组数ci(i = 1, 2, . . . , n) 使得 Xm i=1 = 0V , 则 τ −1 Xm i=1 ciyi ! = Xm i=1 ciεi = τ −1 (0V ) = 0U 若ci不全为零与εi是U的一个基矛盾, 因此yi线性无关, 由此dim V 只能等 于m = dim U. 定理 4.3.3. 同构是线性空间空间之间的一种等价关系. 证: (1). 线性空间V 自身之间恒等映射是V 7→ V 的同构映射, 因此, 同构关系是自 反的. (2). 若线性空间V ∼= W, 则存在V 7→ W的一一映射σ, 则 σ −1 就是 W 7→ V 的 同构映射, 因此, 同构关系是对称的. (3). 若线性空间U ∼= V , V ∼= W, 则存在映射σ, τ分别是 U 7→ V 和V 7→ W的 同构映射, 则 τ ◦ σ 是 U 7→ W的同构映射, 因而同构关系是传递的. 如上所证, 同构关系有自反、对称、传递的性质, 所以它是线性空间之间的等 价关系. 设B = {ε1, ε2, . . . , εn) 是线性空间V 的一个基, x 是V 的任意向 量, 用[x]B表 示x在基B下的坐标, 用[V ]B 表示V 中所有向量在基B下的坐标构成的集合, 因为关 于坐标的加法和数乘满足线性空间的定义, 因此[V ]B 是线性空间. 定理 4.3.4. 设 B是线性空间V 的基, [V ]B 是V 中所有向量在基B下的坐标构成的集 合, 则 V ∼= [V ]B. 证明略 两个同构的空间虽然术语或记号可能不同, 但都作为线性空间往往可以不加区分, 每一个V 中的计算可以等同的出现在[V ]B中, 所以, 利用坐标亦可研究向量组的线性 相关性. 例 23. 证明R[t]2中的多项式1 + 2t 2 , 4 + t + 5t 2 , 3 + 2t是线性相关的. 12