例7.设A∈Rmxn,将满足方程Ax=0的解构成的集合记为9(A),即 9(A)={xx∈ R"AAx=0} 易证9(A)满足定理41.l,因此它是R的子空间,称为矩阵A的核或零空间 例8.设A∈Rm×n,集合9(A)三Rm定义为 9(A)={y|y=AxAx∈R"} 则(A)也满足定理4l.l.所以它是Rm的子空间,称为矩阵A的值域另外 对(A)中的任意向量y,由定义可知它是矩阵A的列向量的线性组合,所以9(A) 也称为A的列空间,记为Col(A) 例9.例6中的线性空间C{a,b的子集Ea,b定义为 E{a,b={f(x)f(x)∈C,Af(-)=f(x)} 则E[ab满足定理4.,它是C[ab的子空间 例10.设f(x)=ae+be-,其中a,b∈R,称f(x)为函数e和e-m的线性组合 则a,b所有不同取值下的函数f(x),构成集合S,则S满足封闭性性定理,它是R上的 例11.设a1,a2,,ak是数域F上的线性空间V的一组向量,定义集合 L(a1,a2, Aa1A∈F(=1,2,…,k) 可验证L(a1,a2,,ak)满足定理4l.l的封闭性公理,它是V的子空间,常称它为由 a1,a2,,ak生成或张成的子空间,记成span(a1,a2,,ak),其中a1,a2,…,Ok 为生成元 例12.如线性空间R3的两组不同向量a1a和b1,b2,b3,生成两个子空间 0.5 L1(a1,a2)及L2(b1,b2,b3),其中a1=1|,a2 1和b1 1 1.5 3|,b2= 2,b 0.生成的子空间L1(a1,a2)表示的平面 满足下列方程 0 易证向量b1,b2,b3的端点恰好是该平面上的三个不共线的点,因此生成子空间L2 与L1表示的是同一个子空间(平面) 例12说明,两组不同的向量可能生成相同的子空间.那么,当给出多个线性空间 或线性子空间时,如何描述线性空间及它们之间的关系?因此将引入刻画线性空间 特征的基、维数等概念
例 7. 设A ∈ R m×n, 将满足方程 Ax = 0 的解构成的集合记为N (A), 即 N (A) = x x ∈ R n ∧ Ax = 0 易证N (A)满足定理4.1.1, 因此它是 R n的子空间, 称为矩阵A 的核或零空间. 例 8. 设A ∈ R m×n, 集合R (A) ⊆ R m定义为 R (A) = {y|y = Ax ∧ x ∈ R n } 则R (A)也满足定理4.1.1. 所以,它是 R m的子空间, 称为矩阵A 的值域. 另外, 对R (A)中的任意向量y, 由定义可知它是矩阵A的列向量的线性组合, 所以R (A) 也称为A的列空间, 记为Col (A). 例 9. 例6中的线性空间C [a, b] 的子集E [a, b]定义为 E [a, b] = f(x) f(x) ∈ C [a, b] ∧ f(−x) = f(x) 则E [a, b] 满足定理4.1.1, 它是C [a, b]的子空间. 例 10. 设 f(x) = aex + be−x , 其中a, b ∈ R, 称f(x) 为函数 e x 和 e −x的线性组合, 则a, b所有不同取值下的函数 f(x), 构成集合S, 则 S 满足封闭性性定理, 它是R上的 连续函数空间C的子空间. 例 11. 设 α1, α2, . . . , αk 是数域F上的线性空间 V 的一组向量, 定义集合 L(α1, α2, . . . , αk) = (X k i=1 λiαi λi ∈ F (i = 1, 2, . . . , k) ) 可验证L(α1, α2, . . . , αk)满足定理4.1.1的封闭性公理, 它是 V 的子空间, 常称它为由 α1, α2, . . . , αk生成(或张成)的子空间, 记成:span (α1, α2, . . . , αk), 其中α1, α2, . . . , αk 为生成元. 例 12. 如线性空间R 3 的两组不同向量a1, a2 和 b1, b2, b3, 生成两个子空间: L1 (a1, a2) 及 L2 (b1, b2, b3), 其 中a1 = −0.5 1 0 , a2 = 0 −1 1 和 b1 = 1 −3 1 , b2 = −1.5 2 1 , b3 = −1 0 2 . 生成的子空间L1 (a1, a2) 表示的平面 满足下列方程 2x1 + x2 + x3 = 0 易证向量b1, b2, b3 的端点恰好是该平面上的三个不共线的点, 因此生成子空间L2 与L1 表示的是同一个子空间(平面). 例12说明, 两组不同的向量可能生成相同的子空间. 那么, 当给出多个线性空间 或线性子空间时, 如何描述线性空间及它们之间的关系? 因此将引入刻画线性空间 特征的基、维数等概念. 6
图43:例12 4.2线性空间的基、维数和坐标 42.1基与维数 定义4.3.线性空间V中的一组线性无关的向量E1,e2,,En,若V中的任意向量都 可表示成它们的线性组合,则称这组向量为线性空间V的基 线性空间的基不唯一,但组成基的向量个数是唯一的 定义44.线性空间V的一个基中含有的向量个数称为线性空间V的维数,记 为dimV 例13.在R空间中,向量组 0 0 0 线性无关,并且x∈Rn,有 其中xi(i=1,2,,n)为向量x的分量.它构成线性空间R的一组基,通常称为自 然基或常用基空间Rn的维数为 dim Rn=n. 例14.Rm×n是所有mxn阶实矩阵构成的线性空间,考察一组m×n阶矩阵enfi= 1,2,,m;j=1,2,…,n),其中矩阵eu;的第i行第j列元素为1,其它元素为0.这组 矩阵线性无关,并且A∈Rmxn均可表示为 mxn i=1j=1 显然,这组矩阵构成Rmn的一组基,并且 dim rm×n=m 7
x2 x1 x3 a1 a2 b3 b1 b2 图 4.3: 例12 4.2 线性空间的基、维数和坐标 4.2.1 基与维数 定义 4.3. 线性空间V 中的一组线性无关的向量 ε1, ε2, . . . , εn, 若V 中的任意向量都 可表示成它们的线性组合, 则称这组向量为线性空间V 的基. 线性空间的基不唯一, 但组成基的向量个数是唯一的. 定义 4.4. 线性空间V 的一个基中含有的向量个数称为线性空间V 的维数, 记 为dim V . 例 13. 在R n空间中, 向量组 e1 = 1 0 0 . . . 0 0 , e2 = 0 1 0 . . . 0 0 , · · · , en = 0 0 0 . . . 0 1 线性无关, 并且∀x ∈ R n, 有 x = Xn i=1 xiei 其中 xi(i = 1, 2, . . . , n) 为向量 x的分量. 它构成线性空间R n 的一组基, 通常称为自 然基或常用基, 空间R n 的维数为dim R n = n. 例 14. R m×n是所有m × n阶实矩阵构成的线性空间, 考察一组m × n阶矩阵:eij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n), 其中矩阵 eij的第i行第j列元素为1,其它元素为0. 这组 矩阵线性无关, 并且∀A ∈ R m×n 均可表示为 A = [aij ]m×n = Xm i=1 Xn j=1 aijeij 显然, 这组矩阵构成Rm×n 的一组基, 并且 dim R m×n = m × n. 7
例15.考虑矩阵A的零空间9(A)和值域(列空间(A)=Col(A),由线性方程组 的解理论可知,方程组Ax=0的基础解系构成空间9(A)的一组基,且dim9(A)= n-rank(A).由空间Col(A)定义可知Col(A)=span(a1,a2,…,an),其中a1i 2,,n)为矩阵A的列向量,因此A的列向量中线性独立的向量构成9(A)的基 a dim i(A)=dim Col(A)=rank(A) 422坐标系 对于线性空间V,指定一组基的重要原因就是给V引入一个“坐标系”如空 间Rn中的向量x一般是在自然基e1,e2,…,en下的表述.坐标系将使得V像R”一样 便于操作 定义45.设向量组B={e1,E2,…,En}是线性空间V的一个基,则Yx∈V,有 x=181+a282+.+InEn (4.1) 则称x1,x2,…,xn为向量x在基B下的坐标,表示成1,x2,…,xn2 坐标系的存在依赖于下列唯一表示定理 定理42.L.(唯一表示定理)设B={=1,E2,…,En}是V的一个基,则Wx∈V可唯 表示成式(41 证:假设Wx∈V在基B下的表示不唯一,即除了式(41)还存在另一种关于基B的 线性组合 ∑r 等式(41)和(42)相减,得 ∑(x1-x3)E1=0 若丑r;≠x说明存在不全为零的一组数使c的线性组合为零,这与B是V的 个基矛盾 因此x;=x(i=1,2,,n),即表示式(41)唯 例16.设x是2中任一向量,x在基{a,b}下的坐标如图44所示 图44:例16 例17.设R2的一个基E1 求x在基E1,E2下的 坐标
例 15. 考虑矩阵A的零空间N (A)和值域(列空间)R (A) = Col (A), 由线性方程组 的解理论可知, 方程组Ax = 0 的基础解系构成空间N (A)的一组基, 且dim N (A) = n − rank (A). 由空间 Col (A) 定义可知 Col (A) = span (a1, a2, . . . , an), 其中ai(i = 1, 2, . . . , n)为矩阵A的列向量, 因此 A的列向量中线性独立的向量构成R (A)的基, 且 dim R (A) = dim Col (A) = rank (A). 4.2.2 坐标系 对于线性空间V , 指定一组基的重要原因就是给V 引入一个“坐标系”, 如空 间R n中的向量x一般是在自然基e1, e2, . . . , en下的表述. 坐标系将使得 V 像R n一样 便于操作. 定义 4.5. 设向量组B = {ε1, ε2, . . . , εn} 是线性空间V 的一个基, 则 ∀x ∈ V , 有 x = x1ε1 + x2ε2 + . . . + xnεn (4.1) 则称 x1, x2, . . . , xn 为向量x在基B下的坐标, 表示成[x1, x2, · · · , xn] T . 坐标系的存在依赖于下列唯一表示定理 定理 4.2.1. (唯一表示定理) 设B = {ε1, ε2, . . . , εn} 是V 的一个基, 则 ∀x ∈ V 可唯一 表示成式(4.1). 证: 假设∀x ∈ V 在基B下的表示不唯一, 即除了式(4.1)还存在另一种关于基B的 线性组合 x = Xn i=1 x 0 i εi (4.2) 等式(4.1)和(4.2)相减, 得 Xn i=1 (xi − x 0 i ) εi = 0 若 ∃xi 6= x 0 i , 说明存在不全为零的一组数使εi的线性组合为零, 这与B 是 V 的 一个基矛盾. 因此 xi = x 0 i (i = 1, 2, . . . , n), 即表示式(4.1)唯一. 例 16. 设 x 是R 2中任一向量, x 在基{a, b} 下的坐标如图4.4所示. a b x = x1a + x2b x1 x2 图 4.4: 例16 例 17. 设R 2 的一个基ε1 = 1 0 , ε2 = 1 2 , 向量x = 1 6 , 求x 在基ε1, ε2下的 坐标. 8
解:事实上,x 6 是在自然基下的坐标,即x=1·e1+6·e2.设 x1E1+x2E2,其中x1,x2为待求的x在基E1,E2下的坐标 11 6 0 6 求得x1=-2,x2=3,即x=(-2)1+32 例18.实数域上的3次多项式空间R[l3,已知 B {1,1+x,1+x+x2,1+x+x2+x3}和B2 {1-x1+2x+3x2,-1+x+x2+x3,5-2x2+x3}是两组基求f(x) x+5x2-x3在61,B2下的坐标 解:设f(x)在B1下的坐标为a1,a2,a3,a4,则有 +x1+x+21+x+2+21][a1231=x+52 a1+a2+a3+a4 a2+a3+a4=1 a3+a4 设f(x)在B2下的坐标为B1,B2,月3,月4,则有 B1(1-x)+B2(1+2x+3x2)+月3(-1+x+x2+x3)+4(5-2x2+x3)=x+5ax2-x B1+B2-B3+5B4 0 B1 B3 B2 B3-264 8 B3+B4 BA 例18说明(1)线性空间的基不唯一;(2)向量在不同的基下的坐标一般也不同; 4.3线性空间同构 开始介绍同构之前先引入映射的概念 4.3.1映射 定义46.设S,T为两个集合,若存在一个法则σ,使得对集合S中每个元素a,按法 则σ,都有T中唯一确定的元素日与它对应,则称σ为从集合S到集合T的映射,记作 a:S→T.把B称为a在映射a下的像.常写成B=0(a,而a也称为B在映射σ下的 个原象 通常将集合S称为映射σ的定义域,而S在映射σ下的像的全体称为值域,记 为σ(S),它是T的一个子集,即σ(S)gT (1)若a(S)=T,则称映射a为满射的 (2)对S中任意两个不同的元素a1,a2,在映射a下的像也不同,即若a1≠a2,则 (a1)≠o(a2),就称映射a为单射的 9
解: 事实上, x = 1 6 是在自然基下的坐标, 即x = 1 · e1 + 6 · e2. 设 x = x1ε1 + x2ε2, 其中 x1, x2 为待求的x 在基ε1, ε2 下的坐标. ε1 ε2 x1 x2 = e1 e2 1 6 ⇒ 1 1 0 2 x1 x2 = 1 6 求得x1 = −2, x2 = 3, 即 x = (−2)ε1 + 3ε2. 例 18. 实 数 域 上 的3次 多 项 式 空 间 R [x] 3 , 已 知 B1 = 1, 1 + x, 1 + x + x 2 , 1 + x + x 2 + x 3 和 B2 = 1 − x, 1 + 2x + 3x 2 , −1 + x + x 2 + x 3 , 5 − 2x 2 + x 3 是 两 组 基, 求f(x) = x + 5x 2 − x 3 在B1, B2 下的坐标. 解: 设 f(x) 在B1 下的坐标为 α1, α2, α3, α4, 则有 1 1 + x 1 + x + x 2 1 + x + x 2 + x 3 α1 α2 α3 α4 T = x + 5x 2 − x 3 ⇒ α1 + α2 + α3 + α4 = 0 α2 + α3 + α4 = 1 α3 + α4 = 5 α4 = −1 ⇒ α1 = −1 α2 = −4 α3 = 6 α4 = −1 设 f(x) 在B2 下的坐标为 β1, β2, β3, β4, 则有 β1(1 − x) + β2(1 + 2x + 3x 2 ) + β3(−1 + x + x 2 + x 3 ) + β4(5 − 2x 2 + x 3 ) = x + 5x 2 − x 3 ⇒ β1 + β2 − β3 + 5β4 = 0 −β1 + 2β2 + β3 = 1 3β2 + β3 − 2β4 = 5 β3 + β4 = −1 ⇒ β1 = 11/8 β2 = 11/8 β3 = −3/8 β4 = −5/8 例18说明(1) 线性空间的基不唯一; (2) 向量在不同的基下的坐标一般也不同; 4.3 线性空间同构 开始介绍同构之前先引入映射的概念. 4.3.1 映射 定义 4.6. 设 S, T 为两个集合, 若存在一个法则σ, 使得对集合S中每个元素α, 按法 则σ, 都有T 中唯一确定的元素β与它对应, 则称σ为从集合S到集合T的映射, 记作 σ : S 7→ T. 把 β 称为α在映射σ下的像, 常写成 β = σ (α), 而α也称为β在映射σ下的 一个原象. 通常将集合S称为映射σ的定义域, 而S在映射σ下的像的全体称为值域, 记 为σ (S), 它是T的一个子集, 即 σ (S) ⊆ T. (1) 若 σ (S) = T, 则称映射σ为满射的. (2) 对S中任意两个不同的元素α1, α2, 在映射σ下的像也不同, 即若 α1 6= α2, 则 σ (α1) 6= σ (α2), 就称映射σ为单射的. 9
(2)若映射a既是满射又是单射,就称为一一映射或双射 例19.设a:N→Z其中vx∈N,o(x)=(-1)2x,σ是单射 例20.设r:Z→{0,1},其中x∈Z,r(x)=xmod2,表示任意整数x除以2以后的 余数,σ是满射 例21.设a:R→R+,其中R+表示正实数集,Vx∈R,(x)=e2,则是双射 设σ:S→T,r:T→U,将a0T称为映射的合成,且σ。r:S→U,常写 成(0().如例19和例20的映射合成后为N到{0,1}的映射,即对任意自然数x T(o())=(-1 r mod 2 4.3.2同构 定义47.给定数域F上的线性空间V和W,设σ是V→W的映射,若映射满足 (1)任意a,B∈V,有a(a+B)=a(a)+a(6) (2)任意数c∈F和任意a∈V,有a(ca)=ca(a) 称σ为线性映射当V=W时,线性映射又称为线性变换 线性变换将在下一章讨论,这里考虑下面特殊的线性映射 定义4.8.V和W是数域F上的线性空间,若从V到W的线性映射是一一映射双射) 则称该线性映射为同构映射这时的线性空间V和W称为同构 isomorphism),记 为V坐W 定理43.1.设数域F上的线性空间VW,则同构映射将V的零向量映射到W的零 向量 证:设σ:V→W为同构映射,0v,0分别为线性空间V和W的零向量,根据 线性空间性质(3)有:0v=0x,其中0∈F,x∈V,因此a(0v)=a(0x) 例22.数域R上的二次多项式空间 R2={a+a1x+a2x2|a1∈Ri=0,1,2} 与线性空间R3之间的对应关系如下 显然,这是一一映射关系,而且它是线性空间R]2与R3之间的同构映射,且对任 意a+a1x+a2x2,b+b1x+b2x2和c∈R满足 bo a0+b0 bla 1+b1 (a0+b)+(a1+b)x+(a2+b2)x2 b2 +b2 (cao)+(ca1)z+(ca2)c 因此R2坐R3 10
(2) 若映射σ既是满射又是单射, 就称σ为一一映射或双射. 例 19. 设σ : N 7→ Z, 其中 ∀x ∈ N, σ (x) = (−1)xx, σ是单射. 例 20. 设τ : Z 7→ {0, 1}, 其中 ∀x ∈ Z, τ (x) = x mod 2, 表示任意整数x除以2以后的 余数, σ 是满射. 例 21. 设σ : R 7→ R +, 其中R +表示正实数集, ∀x ∈ R, σ (x) = e x , 则σ 是双射. 设σ : S 7→ T, τ : T 7→ U, 将σ ◦ τ 称为映射的合成, 且 σ ◦ τ : S 7→ U, 常写 成τ (σ (•)). 如例19和例20的映射合成后为 N到{0, 1}的映射, 即对任意自然数x, τ (σ (x)) = (−1)xx mod 2. 4.3.2 同构 定义 4.7. 给定数域F上的线性空间 V 和 W, 设 σ 是 V 7→ W 的映射, 若映射满足: (1) 任意α, β ∈ V , 有 σ (α + β) = σ (α) + σ (β). (2) 任意数c ∈ F 和任意α ∈ V , 有σ (cα) = cσ (α). 称σ为线性映射. 当V = W时, 线性映射又称为线性变换. 线性变换将在下一章讨论, 这里考虑下面特殊的线性映射. 定义 4.8. V 和W是数域F上的线性空间, 若从V 到W的线性映射是一一映射(双射), 则称该线性映射为同构映射. 这时的线性空间V 和W 称为同构(isomorphism), 记 为V ∼= W. 定理 4.3.1. 设数域F上的线性空间V ∼= W, 则同构映射将V 的零向量映射到W的零 向量. 证: 设 σ : V 7→ W 为同构映射, 0V , 0W 分别为线性空间V 和W的零向量, 根据 线性空间性质(3)有: 0V = 0x, 其中0 ∈ F, x ∈ V , 因此 σ (0V ) = σ (0x) = 0σ (x) = 0W . 例 22. 数域R 上的二次多项式空间 R[x]2 = a0 + a1x + a2x 2 ai ∈ R, i = 0, 1, 2 与线性空间R 3之间的对应关系如下: a0 + a1x + a2x 2 ←→ a0 a1 a2 显然, 这是一一映射关系, 而且它是线性空间R[x]2与R 3之间的同构映射, 且对任 意a0 + a1x + a2x 2 , b0 + b1x + b2x 2 和c ∈ R, 满足 a0 + a1x + a2x 2 + b0 + b1x + b2x 2 (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x 2 ←→ a0 a1 a2 + b0 b1 b2 = a0 + b0 a1 + b1 a2 + b2 c · a0 + a1x + a2x 2 = (ca0) + (ca1)x + (ca2)x 2 ←→ c a0 a1 a2 = ca0 ca1 ca2 因此 R[x]2 ∼= R 3 . 10