复旦大学：《数学分析》讲稿_Euclid空间上微积分（高维微分学）_向量值映照微分学——向量值映照的可微性

高维微分学——向量值映照的可微性 复旦力学谢锡麟 016年3月15日 1知识要素 11向量值映照的可微性定义 可微性作为映照的一种“局部行为”,指自变量变化所引起的因变量的变化可由自变量空间 至因变量空间之间的线性映照逼近,误差为一阶无穷小量,如图1所示 yo J(+h)-f(a)=Df(a)h a f(a +h) h f(a f(a+h) a+h f(a+h)-f(a)=Df(a)h a+h 图1:向量值映照可微性示意 定义1.1(向量值映照可微性).对一般向量值映照 f(x):R%x3T→f(a) t92①,有 f(o+h)-f(a)=Df(eo)(h)+o(hRm)ER, Df(ao)E Z(RR") 则称∫(x)在co点可微,可称Df(x0)(h)∈Rn为∫(x)在xo∈Rm点的微分 ①表示x0为定义域分x的内点

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——向量值映照的可微性 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 向量值映照的可微性定义 可微性作为映照的一种 “局部行为”, 指自变量变化所引起的因变量的变化可由自变量空间 至因变量空间之间的线性映照逼近, 误差为一阶无穷小量，如图1所示. x 1 x i x p O hˆ h˜ x x + hˆ x + h˜ Dx y 1 y α y q O f(x) f(x + hˆ) f(x + h˜) f(x + hˆ) − f(x) .= Df(x)hˆ f(x + h˜) − f(x) .= Df(x)h˜ f 图 1: 向量值映照可微性示意 定义 1.1 (向量值映照可微性). 对一般向量值映照 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R n , x0 ∈ intDx ➀, 有 f(x0 + h) − f(x) = Df(x0)(h) + o(|h|Rm) ∈ R n , Df(x0) ∈ L (R m; R n ) 则称 f(x) 在 x0 点可微, 可称 Df(x0)(h) ∈ R n 为 f(x) 在 x0 ∈ R m 点的微分. ➀ 表示 x0 为定义域 Dx 的内点 1

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 以下研究微分Df(xo)(h)的表达式由Df(xo)∈(Rmn;Rn)可有 Df(xoh)=Df(xo)(h2i1+…+h"im)=∑Df(xo)ai)h [Df(ao)(i1),., Df(eco)(im) 按可微性定义,特取h=λi∈Rm,有 f(ao+ Aii)-f(ao)=ADf(eo(ii)+O()ER 亦即,有 彐lim f(xo+Ai)-∫(xo) =Df(c0)(i)∈R 再由存在向量值映照极限等价于存在各分量的极限,则有 入→0∈R 入→0∈R 尸(xo+Ai1)-fn(xo) 定义向量值映照∫(x)在xo点相对于自变量第i个分量x2的变化率 0 全lim f(ao+ Aii)-f(ao) 入 以及∫(c)的第a个分量f(x)相对于x2的变化率 dzi(zo)4 lim fa(ao+xi)-foao eR, af 即有 「af1 Co= af Dnr(ao)∈ af 综上所述,有 0f1 0f1 a xm D f(ao) (x0) 0尸n axm

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 以下研究微分 Df(x0)(h) 的表达式. 由 Df(x0) ∈ L (R m; R n ) 可有 Df(x0)(h) = Df(x0)(h 1 i1 + · · · + h mim) = ∑m i=1 Df(x0)(ii)h i = [Df(x0)(i1), · · · , Df(x0)(im)]     h 1 . . . h m     . 按可微性定义, 特取 h = λii ∈ R m, 有 f(x0 + λii) − f(x0) = λDf(x0)(ii) + o(λ) ∈ R n . 亦即, 有 ∃ lim λ→0∈R f(x0 + λii) − f(x0) λ = Df(x0)(ii) ∈ R n . 再由存在向量值映照极限等价于存在各分量的极限, 则有 lim λ→0∈R f(x0 + λii) − f(x0) λ =              lim λ→0∈R f 1 (x0 + λii) − f 1 (x0) λ . . . lim λ→0∈R f α(x0 + λii) − f α(x0) λ . . . lim λ→0∈R f n (x0 + λii) − f n (x0) λ              定义向量值映照 f(x) 在 x0 点相对于自变量第 i 个分量 x i 的变化率 ∂f ∂xi (x0) , lim λ→0∈R f(x0 + λii) − f(x0) λ ∈ R n , 以及 f(x) 的第 α 个分量 f α(x) 相对于 x i 的变化率 ∂fα ∂xi (x0) , lim λ→0∈R f α(x0 + λii) − f α(x0) λ ∈ R, 即有 ∂f ∂xi (x0) =             ∂f 1 ∂xi (x0) . . . ∂fα ∂xi (x0) . . . ∂fn ∂xi (x0)             ∈ R n . 综上所述，有 Df(x0) = [ ∂f ∂x1 , · · · , ∂f ∂xm ] (x0) =         ∂f 1 ∂x1 · · · ∂f 1 ∂xm . . . . . . . . . ∂fn ∂x1 · · · ∂fn ∂xm         (x0) 2

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 矩阵Df(x0)∈Rn×m称为 Jacobi矩阵 可定义在向量值映照在某点沿某方向的变化率 e)垒,imJ(x0+xe)-f(m0)∈R,vem=1. f 入→0∈R 按可微性的定义,易见当∫(c)在xo∈Rm点可微,有 (ao)=Df(eo)e, vleRm= 1 1.2复合向量值映照的可微性定理 定理1.1(复合向量值映照的可微性定理).向量值映射 R"2 e(c)∈R 在xo∈int%CRm点可微;向量值映射 e(y):Rn293y→6(y)∈ 在v0=0(x0)∈ inte CR"点可微.则有 1.在c0点局部存在向量值的复合eo(x) 2.白。0(c)在xo点可微,且有 e。θ(∞0+△x)=。0(co)+De((xo)·Dθ(xo)△x+o(|△xlam 证明证明复合向量值映照的局部存在性。由于,考虑到co∈int%和yo∈inte,以及 可微性保证连续性,则有 入,μ∈ e(B(Eo))CBu(yo) 且BA(x0)cm和B(v)c。由此可构造: oθ(x):Bx(xo)3 6(m)≡e(6(a)∈ 证明可微性。基于6(y)∈R4在yo=6(x0)∈Rn点的可微性,即有: 3o+△y)=6(o)+De(3o)△y+o(△ylRn) 引入 △y≠0∈R B(0) R △y=0∈R 则有 6(90+△y)=6(3)+Dev0)△y+重(△y)·|△y,,△y∈B(0)CRn

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 矩阵 Df(x0) ∈ R n×m 称为 Jacobi 矩阵。 可定义在向量值映照在某点沿某方向的变化率 ∂f ∂e (x0) , lim λ→0∈R f(x0 + λe) − f(x0) λ ∈ R n , ∀ |e|Rm = 1. 按可微性的定义，易见当 f(x) 在 x0 ∈ R m 点可微, 有 ∃ ∂f ∂e (x0) = Df(x0) e, ∀ |e|Rm = 1 1.2 复合向量值映照的可微性定理 定理 1.1 (复合向量值映照的可微性定理). 向量值映射 θ(x) : R m ⊃ Dθ ∋ x 7→ θ(x) ∈ R n 在 x0 ∈ intDθ ⊂ R m 点可微; 向量值映射 Θ(y) : R n ⊃ DΘ ∋ y 7→ Θ(y) ∈ R l 在 y0 = θ(x0) ∈ intDΘ ⊂ R n 点可微. 则有 1. 在 x0 点局部存在向量值的复合 Θ ◦ θ(x); 2. Θ ◦ θ(x) 在 x0 点可微，且有 Θ ◦ θ(x0 + △x) = Θ ◦ θ(x0) + DΘ(θ(x0)) · Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm) 证明 证明复合向量值映照的局部存在性。由于，考虑到 x0 ∈ intDθ 和 y0 ∈ intDΘ，以及 可微性保证连续性，则有： ∃λ, µ ∈ R +, s.t. θ(Bλ(x0)) ⊂ Bµ(y0) 且 Bλ(x0) ⊂ Dθ 和 Bµ(y0) ⊂ DΘ。由此可构造： Θ ◦ θ(x) : Bλ(x0) ∋ x 7→ Θ ◦ θ(x) ≡ Θ(θ(x)) ∈ R l 证明可微性。基于 Θ(y) ∈ R l 在 y0 = θ(x0) ∈ R n 点的可微性，即有： Θ(y0 + △y) = Θ(y0) + DΘ(y0)△y + o(|△y|Rn ) 引入 Φ(△y) : R n ⊃ Bµ(0) ∋ △y 7→ Φ(△y) , { o(|△y|Rn ) |△y|Rn △y ̸= 0 ∈ R n 0 △y = 0 ∈ R n ∈ R l 则有 Θ(y0 + △y) = Θ(y0) + DΘ(y0)△y + Φ(△y) · |△y|Rn , , ∀△y ∈ Bµ(0) ⊂ R n 3

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 基于6(x)∈R在co∈Rm点的可微性,取 △y=0(xo+△x)-0(x0)=D0(x0)△x+0(△xgm),V△x∈B()cRm 带入上式,则有 e。θ(xo+△a)=6oθ(xo)+De(yo)·[D6(x0)△c+o(△ab 垂(D(x0)△x+04△mm)-D(x0)△x+0(△r)m,Y△x∈B2(O)cRm 考虑到 De):△rlg)∈Rl △x-0∈Rm △xlRm o2(△x|gm) =0∈R,a=1 △x-0∈Rm|△alRm o(△ lRm) 即有: D6(y0)·o(△xlm)=o(△x|gm)∈R 考虑到 lim De(xo)△x+o(|△rlm)=0∈R y)=0=亚(0)∈R4 以及包含性条件 D6(xo)△c+o(△ rm)∈B1(0)cRn,Vx∈Bx(0)cR 按复合向量值映照的极限定理有 △x+0∈R2(D(xo)△x+o(△xlm)=0∈R lim 考虑到 D6(x0)△x+o(△alkm)ln 1D(n)△a+lpa)lx< De(o)lxml△rkm+l△rln) △lRm △c|Rm △lRm ≤|D(x0)lnxm+1当:|△c|m≤1 此处D(xo) Rnm√/∑a=1∑m=1/2。故有: 分、MimD0(xo)△x+o(△akm)|D(x0)△x+o(|△am)Rn 0∈R 重(D(x0)△x+o(△lm)·|De(xo)△x+o(△xlgm)n=o(△cm)∈R

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 基于 θ(x) ∈ R n 在 x0 ∈ R m 点的可微性，取 △y := θ(x0 + △x) − θ(x0) = Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm), ∀△x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 带入上式，则有 Θ ◦ θ(x0 + △x) = Θ ◦ θ(x0) + DΘ(y0) · [Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)] + Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) · |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn , ∀△x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 考虑到： lim △x→0∈Rm DΘ(y0) · o(|△x|Rm) |△x|Rm ∈ R l ⇔ lim △x→0∈Rm 1 |△x|Rm · [ ∂Θα ∂y1 , · · · , ∂Θα ∂yn ] (y0) ·     o 1 (|△x|Rm) . . . o n (|△x|Rm)     = 0 ∈ R, α = 1, · · · , n 即有： DΘ(y0) · o(|△x|Rm) = o(|△x|Rm) ∈ R l 考虑到： lim △x→0∈Rm [Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)] = 0 ∈ R n , lim △y→0∈Rn Φ(△y) = 0 = Φ(0) ∈ R l 以及包含性条件： Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm) ∈ Bµ(0) ⊂ R n , ∀ x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 按复合向量值映照的极限定理有 lim △x→0∈Rm Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) = 0 ∈ R l 考虑到： |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm ≤ |Dθ(x0)△x|Rn |△x|Rm + |o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm ≤ |Dθ(x0)|Rn×m · |△x|Rm |△x|Rm + |o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm ≤ |Dθ(x0)|Rn×m + 1 当：|△x|Rm ≪ 1 此处 |Dθ(x0)|Rn×m , √∑n α=1 ∑m j=1 |∂θ α /∂xj | 2。故有： lim △x→0∈Rm Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) · |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm = 0 ∈ R l 即有： Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) · |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn = o(|△x|Rm) ∈ R l 4

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 综上所述,则有: e。0(x0+△x)=6o0(xo)+De((xo)·D(x0)△x+o(△akm)∈R,△x∈B1(0)<Rmn 如果g为向量值映射 gly 则g和∫复合成向量值映射 (go f)( gof:Rmn→→R →(gof)(x)= 按复合向量值映照的可微性定量,复合映照(g°∫)(x)的 Jacobi矩阵为 D(go f)(a)= Dg(f(e)). Df(a), 亦即为 9 afn f a(go f) af arl a fl 对于上述向量值映射的每个分量,即为多元函数 (gof)P(x)=gP(f(x)=gP(f(x2,…,xm),…,f(a2,…,xm)vp=1,…l, 向量值映射的每个分量遵循以下链式求导法则 a(go f)p 0f7 (f() axk 如有f(x)=f(m1(a),…,m(x)∈R式中1(x)∈R1,…,们2(x)∈Rv;∈Rm,则有 Df(x)=Dnf(m1(x)…;n(x)Dn1(x)+…+Dnf(m1(x),…,n(x)Dn(x)∈Rx(m++n) 分析 f(a):Rm3x→f(x)全∫(m1(x),…,n(m)=fon(x)∈R 此处 1(x) RehNa= ∈Rn++nq

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 综上所述，则有： Θ ◦ θ(x0 + △x) = Θ ◦ θ(x0) + DΘ(θ(x0)) · Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm) ∈ R l , ∀△x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 如果 g 为向量值映射 g : R n −→ R l ; y =     y 1 . . . y n     7−→ g(y) =     g 1 (y 1 , · · · , yn ) . . . g l (y 1 , · · · , yn )     则 g 和 f 复合成向量值映射 g ◦ f : R m −→ R l ; x =     x 1 . . . x m     7−→ (g ◦ f)(x) =     (g ◦ f) 1 (x 1 , · · · , xm) . . . (g ◦ f) l (x 1 , · · · , xm)     . 按复合向量值映照的可微性定量, 复合映照 (g ◦ f)(x) 的 Jacobi 矩阵为 D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x)) · Df(x), 亦即为       ∂(g ◦ f) 1 ∂x1 · · · ∂(g◦f) 1 ∂xm . . . · · · . . . ∂(g ◦ f) l ∂x1 · · · ∂(g ◦ f) l ∂xm       l×m =        ∂g1 ∂f 1 · · · ∂g1 ∂fn . . . · · · . . . ∂gl ∂fl · · · ∂gl ∂fn        l×n ·       ∂f 1 ∂x1 · · · ∂f 1 ∂xm . . . · · · . . . ∂fn ∂x1 · · · ∂fn ∂xm       n×m . 对于上述向量值映射的每个分量，即为多元函数 (g ◦ f) p (x) = g p (f(x)) = g p (f 1 (x 1 , · · · , xm), · · · , fn (x 1 , · · · , xm)) ∀ p = 1, · · · l, 向量值映射的每个分量遵循以下链式求导法则： ∂(g ◦ f) p ∂xk (x) = ∑n j=1 ∂gp ∂fj (f(x)) · ∂fj ∂xk ∀ k = 1, · · · m; ∀ p = 1, · · · l. (1) 如有 fˆ(x) = f(η1 (x), · · · , ηq (x)) ∈ R l 式中 η1 (x) ∈ R n1 , · · · , ηq (x) ∈ R nq ; x ∈ R m，则有 Dfˆ(x) = Dη1 f(η1 (x), · · · , ηq (x))Dη1 (x)+· · ·+Dηq f(η1 (x), · · · , ηq (x))Dηq (x) ∈ R l×(n1+···+nq) 分析： fˆ(x) : R m ∋ x 7→ fˆ(x) , f(η1 (x), · · · , ηq (x)) ≡ f ◦ η(x) ∈ R l 此处 R m ∋ x 7→ η(x) =     η1 (x) . . . ηq (x)     ∈ R n1+···+nq 5