华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第二章 连续时间系统的时域分析方法

第二章连续时间系统的时域分析方法 本章主要内容： 1求微分（差分）方程的解 求时域响应 齐次解+特解 经典解法 全解 零输入响应+零状态响应 2单位冲激响应h(t),单位样值响应h(n) 3激励与冲激响应的卷积积分（卷积和）及其应用

第二章 连续时间系统的时域分析方法 本章主要内容： 1 求微分(差分）方程的解——求时域响应 全解 齐次解 + 特解 经典解法 零输入响应 +零状态响应 2 单位冲激响应h(t)，单位样值响应h(n) 3 激励与冲激响应的卷积积分(卷积和)及其应用

§2-1连续系统的时域分析 §2-1-1系统微分方程及其经典解 任何LT连续时间系统，阶一元常系数微分方程一般式为： d"r dr" de be 经典法求解该方程： 全解=齐次解+特解 ↓ r(t)=r,(t)+r,(t) 齐次解)是齐次方程的通解： ag+aw-0 d" 通解一般式为：ce 特征方程为：a”+an-”-+…+a,Q+a,=0

b e dt de b dt d e b dt d e a r b dt dr a dt d r a dt d r m m m m m n m n n n n 1 1 0 1 1 1 0 1 1  1                 §2-1 连续系统的时域分析 §2-1-1 系统微分方程及其经典解 任何LTI连续时间系统，n阶一元常系数微分方程一般式为： 全解=齐次解 + 特解 r(t) r (t) r (t)  n  f 1 0 0 1 1  1        a r dt dr a dt d r a dt d r n n n n n  通解一般式为： t ce  1 0 0 1  1      a  a a n n n     特征方程为： 经典法求解该方程： 齐次解rn (t)是齐次方程的通解：

该一元n次方程的n个特征根为： 自然频率 固有频率 01,02…0n, (i=1,2…n) 讨论通解的形式： 1o为互异实根： r,(t)=>c,ee. 2a有k重根：n()=∑c,e1-1+c,e i=1 i=k+1 其中为k重根，o;为单根 特解的形式：根据激励查表得r() 求系数C,C 全解的形式：r(t)=rn(t)+rr(t)

该一元n次方程的n个特征根为： , , ( 1,2 ) 1 2 i n    n   自然频率 固有频率 讨论通解的形式： 1 i为互异实根：    n i t n i i r t c e 1 ( )  2 1有k重根：         n j k t j k i k i t n i j r t c e t c e 1 1 1 ( )   其中1为k重根， j为单根 特解的形式：根据激励查表得rf (t) 全解的形式： r(t) r (t) r (t)  n  f 求系数Ci ,cj

例1：求齐次解：r(t)+5r(t)+6r(t)=e(t) 解：该微分方程的特征方程为：02+50+6=0 解得特征根： 01=-2,02=-3 齐次解为： I(t)=ce2+cze 例3：求齐次解：r(t)+4r'(t)+4r(t)=e(t) 解：a2+4a+4=0→a12=-2二重根 rn(t)=cite+cze 2

例1：求齐次解： ( ) 5 ( ) 6 ( ) ( ) " ' r t  r t  r t  e t 解：该微分方程的特征方程为： 5 6 0 2      解得特征根： 2, 3  1    2   t t n r t c e c e 3 2 2 1 ( )   齐次解为：   例3：求齐次解： ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) " ' r t  r t  r t  e t 解： 4 4 0 2 1,2 2         二重根 t t n r t c te c e 2 2 2 1 ( )    

例4：方程为：r(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2(t) 若激励为：e(t)=t2求其特解r). 查表23-1得对应的特征解为：r(t)=A,t+At+A) (),(),r()e(t),e(t)代入原微分方程得： 24+324,t+4)+2(4t2+4t+A)=2t+22 241+(64,+2A)t+(24,+34t+2A)=2t+22 等式两边同次幂系数相等：2A,=2 A=2 6A+2A=2 →A=-2 24,+3A+2A=0 A,=1 rr(t)=t2-2t+2 t≥0

例４：方程为： ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) " ' ' r t  r t  r t  e t  e t 若激励为： 2 e(t)  t 求其特解 rf (t). 查表2-3-1得对应的特征解为： 1 0 2 2 rf (t)  A t  At  A ( ), ( ), ( ) " ' r t r t r t f f f ( ), ( ) ' e t e t 代入原微分方程得： 2 1 0 2 2 2 1 2 2A 3(2At  A)2(At At  A ) 2t 2t 2 2 1 2 1 0 2 2 2At (6A 2A)t (2A 3At 2A )  2t 2t 等式两边同次幂系数相等：                      1 2 2 2 3 2 0 6 2 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 1 2 A A A A A A A A A ( ) 2 2 2 rf t  t  t  t  0