华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（学习指导书）第四章 傅里叶变换在系统分析中的应用

第四章傅里叶变换在系统分析中的应用 4.1学习要求 通过本章的学习，学生应重点掌握系统函数H(⊙)的意义及其在系统分析中的作用： 无失真传输条件和理想低通滤波器的概念及其物理不可实现性：希尔伯特变换及系统函数的 约束特性：与傅里叶变换相关的基本通信原理和技术。 4.2内容概述 4.2.1线性时不变系统的频率响应H(o) 如果LT系统的单位冲激响应为h(t),激励为f(t),其零状态响应y(t)=f(t)*h(t), 根据傅里叶变换的卷积特性有Y(Ujo)=F(jo)H(jo)。 定义描述LTI系统的频率响应H(jo)为 H(j0)=Y(jo)=FTTK(t) (4-1) F(jo) 系统的频率响应（简称频响），是系统输出与输入的傅里叶变换之比，也就是系统冲激响 应的傅里叶变换，H(jo)与h(t)构成一对傅里叶变换对。实际上，频率响应H(jo)反映了 LTI系统对不同频率的信号所起的作用。 4.2.2系统的无失真传输 (一)无失真传输条件 设激励为f(t),响应为y(t),则按照定义，无失真传输的条件是 y(t)=Kf(t-to) (4-2) 式中K为常数，1。为滞后时间。满足上式的系统，其输出信号的幅度是输入信号的K 倍，并延时1。出现，但波形不变。 满足无失真传输系统的频响应为

1 第四章 傅里叶变换在系统分析中的应用 4.1 学习要求 通过本章的学习，学生应重点掌握系统函数 H j ( )  的意义及其在系统分析中的作用； 无失真传输条件和理想低通滤波器的概念及其物理不可实现性；希尔伯特变换及系统函数的 约束特性；与傅里叶变换相关的基本通信原理和技术。 4.2 内容概述 4.2.1 线性时不变系统的频率响应H j ( )  如果 LTI 系统的单位冲激响应为h(t) ，激励为 f (t)，其零状态响应 y(t)  f (t)  h(t)， 根据傅里叶变换的卷积特性有Y( j)  F( j)H( j) 。 定义描述 LTI 系统的频率响应 H( j)为 [ ( )] ( ) ( ) ( ) FT h t F j Y j H j      (4-1) 系统的频率响应(简称频响)，是系统输出与输入的傅里叶变换之比，也就是系统冲激响 应的傅里叶变换，H( j)与h(t)构成一对傅里叶变换对。实际上，频率响应 H( j)反映了 LTI 系统对不同频率的信号所起的作用。 4.2.2 系统的无失真传输 （一）无失真传输条件 设激励为 f (t)，响应为 y(t) ，则按照定义，无失真传输的条件是 ( ) ( ) 0 y t  Kf t  t (4-2) 式中 K 为常数， 0 t 为滞后时间。满足上式的系统，其输出信号的幅度是输入信号的 K 倍，并延时 0 t 出现，但波形不变。 满足无失真传输系统的频响应为

H(j)=Ke-jo=H(jo)e) H(j@)=K (4-3) p(0)=-010 可见，要使信号通过线性系统时不产生失真，则要求在信号的全部频带内，系统频响的 幅频特性为一常数，相频特性是一过原点的直线。 (二)线性系统引起的信号失真 不满足无失真传输条件的系统，将引起输入信号的传输失真，分为两种： ()幅度失真：系统对信号不同频率分量产生不等的幅度衰减，使响应中各频率分量的 幅度相对于激励发生变化。 (2)相位失真，即系统对信号不同频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频 率分量在时间轴出现的位置不同。 系统的幅度失真和相位失真可能同时存在。信号通过线性系统产生的幅度失真和相位失 真均不会产生新的频率分量，属于线性失真。 4.2.3理想低通滤波器 (一)理想低通滤波器 1.理想低通滤波器 理想滤波器通带内的幅频特性均满足无失真传输特性，而且其通带和阻带之间具有明显 的界线，但这种滤波器实际上是不可实现的。 理想低通滤波器的频率响应定义为 H(jo)=H(jo)ei) (44) 其中 1 I H(j@)F0 |o长o。 o>0。 p(o)=-00 2.理想低通滤波器的冲激响应 h)=o-Sal[o.(t-】 (4-5) n 是一个延时采样函数。 3.理想低通滤波器的阶跃响应 )=sinxdx 2π0 (4-6) 式中的积分称为“正弦积分”用S)表示为：S列=“本。阶跃 应上升时间与系统的带宽（截止频率）成反比。 2

2 ( ) ( ) ( )  0     j t j H j  Ke  H j e         0 ( ) | ( ) | t H j K     (4-3) 可见，要使信号通过线性系统时不产生失真，则要求在信号的全部频带内，系统频响的 幅频特性为一常数，相频特性是一过原点的直线。 （二）线性系统引起的信号失真 不满足无失真传输条件的系统，将引起输入信号的传输失真，分为两种： (1) 幅度失真：系统对信号不同频率分量产生不等的幅度衰减，使响应中各频率分量的 幅度相对于激励发生变化。 (2) 相位失真，即系统对信号不同频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频 率分量在时间轴出现的位置不同。 系统的幅度失真和相位失真可能同时存在。信号通过线性系统产生的幅度失真和相位失 真均不会产生新的频率分量，属于线性失真。 4.2.3 理想低通滤波器 （一）理想低通滤波器 1．理想低通滤波器 理想滤波器通带内的幅频特性均满足无失真传输特性，而且其通带和阻带之间具有明显 的界线，但这种滤波器实际上是不可实现的。 理想低通滤波器的频率响应定义为 ( ) ( ) ( )     j H j  H j e (4-4) 其中 0 1 | | | ( ) | 0 | | ( ) c c H j t                       2．理想低通滤波器的冲激响应 0 ( ) [ ( )] c c h t Sa t t      (4-5) 是一个延时采样函数。 3．理想低通滤波器的阶跃响应     ( ) 0 1 0 sin 2 1 ( ) t t c dx x x y t   (4-6) 上式中 x sin x 的积分称为“正弦积分”，用Si( y) 表示为： dx x x Si y y   0 sin ( ) 。阶跃响 应上升时间与系统的带宽(截止频率)成反比

(二)物理可实现滤波器频率响应的约束条件 1.佩利一维纳准则 如果一个因果系统的幅频特性平方可积，即 H(j)do< 则对于幅频特性，物理可实现系统的必要条件是 nH(johdo< 1+02 (4-7) 上式称为佩利一维纳(Paley-Wiener)准则。 佩利一维纳准则要求物理可实现的幅频响应的衰减不能太快。 佩利一维纳准则只对幅频特性提出要求，对相频特性没有限制，实际上物理可实现系 统的幅频特性和相频特性之间是存在相互制约关系的，因而该准则仅为必要条件而不是充分 条件。对于物理可实现系统，允许H(0)在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个 有限频带内为零。 2.希尔伯特变换 因果系统的冲激响应(t)在t<0时为零，仅在1>0时存在，因此可以写为 h(t)=h(t)u(t) (4-8) 设系统的频响H(jo)用实部和虚部表示为 H(jo)=FT[h(t)]=R(jo)+ix(jo) (4-9) 其中， R(j0)=X(2)dz π-0- (4-10) X(j0)=-- R(A)di 式(4-10)称为希尔伯特变换对。它表明因果系统频响的实部R(jo)被已知的虚部 X(0)完全确定，而虚部也被已知的实部完全确定。从这一关系可知，物理可实现系统频 响的实部和虚部具有满足希尔波特变换对的相互依赖关系。在设计一个实际滤波器时，若给 定了实部，而虚部任意给定，则设计的滤波系统可能就是非因果的。 3

3 （二）物理可实现滤波器频率响应的约束条件 1．佩利－维纳准则 如果一个因果系统的幅频特性平方可积，即      H j d 2 ( ) 则对于幅频特性，物理可实现系统的必要条件是          d H j 2 1 ln ( ) (4-7) 上式称为佩利－维纳(Paley-Wiener)准则。 佩利－维纳准则要求物理可实现的幅频响应的衰减不能太快。 佩利－维纳准则只对幅频特性提出要求，对相频特性没有限制，实际上物理可实现系 统的幅频特性和相频特性之间是存在相互制约关系的，因而该准则仅为必要条件而不是充分 条件。对于物理可实现系统，允许 H j ( )  在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个 有限频带内为零。 2．希尔伯特变换 因果系统的冲激响应h(t) 在t  0 时为零，仅在t  0时存在，因此可以写为 h(t)  h(t)u(t) (4-8) 设系统的频响 H( j)用实部和虚部表示为 H( j)  FT[h(t)]  R( j)  jX ( j) (4-9) 其中，             d R X j d X R j            1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (4-10) 式(4-10)称为希尔伯特变换对。它表明因果系统频响的实部 R( j) 被已知的虚部 X ( j) 完全确定，而虚部也被已知的实部完全确定。从这一关系可知，物理可实现系统频 响的实部和虚部具有满足希尔波特变换对的相互依赖关系。在设计一个实际滤波器时，若给 定了实部，而虚部任意给定，则设计的滤波系统可能就是非因果的

4.2.4调制与解调 (一)调制的物理意义 调制是指用一个信号去改变或控制另一个信号的某一参量（幅度、频率或相位）的过程， 分别为调幅、调频和调相。其中控制信号称为调制信号，而被控制信号称为载波，调制后的 信号称为已调信号。 解调是从已调信号中恢复调制信号的过程，分别有检波、鉴频和鉴相。 1.双边带幅度调制(DSB)与解调 f(t)为调制信号，载波为正弦信号c(t)=coso,1,其中o。为载波角频率，则已调信号 ∫(1)是调制信号与载波的乘积 f(1)=f(t)c(t)=f(t)cos@t 取傅里叶变换得 FTL.(O=E(@)= F(o)*[δ(0+0)+δ(0-o)] 2元 (411) =2F(@+o,)+Fo-a,】 1 其中F(o)为f()的傅里叶变换，设其频谱占据-⊙m到om的有限频带，则已调信号 的频谱F(o)是原信号频谱幅度减半，并分别向左、右各平移oo。在F(o)的频谱中，从 ⊙，到⊙0+⊙m及其关于纵轴对称部分的频谱称为上边带信号，而⊙0一⊙m到@，及其对称部 分频谱称为下边带信号，所以称为双边带调制。 解调是从已调信号∫(t)中恢复f(t)的过程。若传输信道理想，则已调信号f(t)在传 输过程中无失真，在接收端f(t)作为解调器的输入。同步解调的原理是在接收端用与发射 端同频同相的载波cos@,1去乘以接收到的已调信号∫(t),再通过一理想低通滤波器，从 而恢复出原始调制信号f(t)。 2.幅度调制(A)与解调 AM调制是在发射信号中加入一定强度的载波信号A,Cos⊙，1，则已调信号变为 f(t)=[4+f(t)]cosoot (4-12)

4 4.2.4 调制与解调 （一）调制的物理意义 调制是指用一个信号去改变或控制另一个信号的某一参量(幅度、频率或相位)的过程， 分别为调幅、调频和调相。其中控制信号称为调制信号，而被控制信号称为载波，调制后的 信号称为已调信号。 解调是从已调信号中恢复调制信号的过程，分别有检波、鉴频和鉴相。 1．双边带幅度调制(DSB)与解调 f (t)为调制信号，载波为正弦信号 0 c t t ( ) cos   ，其中0 为载波角频率，则已调信号 ( ) c f t 是调制信号与载波的乘积 0 ( ) ( ) ( ) ( )cos c f t f t c t f t t    取傅里叶变换得 0 0 0 0 1 [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 1 [ ( ) ( )] 2 FT f t F F c c F F                         (4-11) 其中 F()为 f (t)的傅里叶变换，设其频谱占据 m 到 m 的有限频带，则已调信号 的频谱 ( ) Fc  是原信号频谱幅度减半，并分别向左、右各平移0 。在 () Fc 的频谱中，从 0 到0  m 及其关于纵轴对称部分的频谱称为上边带信号，而0  m 到0 及其对称部 分频谱称为下边带信号，所以称为双边带调制。 解调是从已调信号 ( ) c f t 中恢复 f (t)的过程。若传输信道理想，则已调信号 ( ) c f t 在传 输过程中无失真，在接收端 ( ) c f t 作为解调器的输入。同步解调的原理是在接收端用与发射 端同频同相的载波 t 0 cos 去乘以接收到的已调信号 ( ) c f t ，再通过一理想低通滤波器，从 而恢复出原始调制信号 f (t)。 2．幅度调制(AM)与解调 AM 调制是在发射信号中加入一定强度的载波信号 0 0 A t cos ，则已调信号变为 0 0 ( ) [ ( )]cos c f t A f t t    (4-12)

其频谱 F(@)=Aπ[6(0+o)+δ(0-o)】+[F(o+0)+F(o-o)】 设K为f()的最大幅度值，为满足A+f(t)总为正，要求A>K。一般定义调幅指 数m为 (4-13) Ao 如果调幅指数m>1,则已调波的包络不再与调制信号形状相同，也就不能用包络检波 器解调出调制信号。当m<1,且调制信号f(t)的频率比载波频率o。小很多时，就可以利 用包络检波器恢复出调制信号f(t)。 3.单边带调制(SSB)和残留边带调制(VSB) 单边带(single side-band调制，就是只产生一个边带，而抑制另一个边带的调制方式。 使已调信号通过一带通滤波器，就可以得到单边带调制信号，但单边带调制信号的滤波器实 现较困难。 残留边带(vestigial side-band信号不是将一个边带完全抑制，而是部分抑制，使其残留 一小部分信号的调制方式，其滤波器的设计可以简化，使得下边带大部分通过，而使上边带 小部分残留。当然，也可以用带通（或高通）滤波器使上边带大部分通过，而下边带小部分残 留。 4.2.5频分多路复用和时分多路复用 (一)频分多路复用(FDM) 在发送端将各路信号的频谱搬移到各不相同的频段范围，使得他们互不重叠，这样就可 复用同一信道传输。在接收端再利用若干带通滤波器将各路信号分离，并用解调技术将各路 信号被搬移过的频谱再搬回到他们各自原来的频段上，这样各路原始信号就被还原了。 (二)时分多路复用(TDM) 时分复用的理论依据是抽样定理，连续信号被抽样后，它的传送可通过抽样值的传送来 代替。抽样间隔最大可达1/2∫，。在传送抽样值时，信道仅在抽样瞬间被占用，而在其余 的空闲时间内可传送第二路、第三路..等其他各路信号的抽样值。将各路信号的抽样值有 序的排列起来，就可实现时分复用。在接收端，这些抽样值由适当的同步检测器分离。 4.3本章知识点 5

5 其频谱 0 0 0 0 0 1 ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 F A F F c                     设 K 为 f (t)的最大幅度值，为满足 0 A f t  ( ) 总为正，要求 A K 0  。一般定义调幅指 数 m 为 0 K m A  (4-13) 如果调幅指数m 1，则已调波的包络不再与调制信号形状相同，也就不能用包络检波 器解调出调制信号。当m 1，且调制信号 f (t)的频率比载波频率0 小很多时，就可以利 用包络检波器恢复出调制信号 f (t)。 3．单边带调制(SSB)和残留边带调制(VSB) 单边带(single side-band)调制，就是只产生一个边带，而抑制另一个边带的调制方式。 使已调信号通过一带通滤波器，就可以得到单边带调制信号，但单边带调制信号的滤波器实 现较困难。 残留边带(vestigial side-band)信号不是将一个边带完全抑制，而是部分抑制，使其残留 一小部分信号的调制方式，其滤波器的设计可以简化，使得下边带大部分通过，而使上边带 小部分残留。当然，也可以用带通(或高通)滤波器使上边带大部分通过，而下边带小部分残 留。 4.2.5 频分多路复用和时分多路复用 （一） 频分多路复用(FDM) 在发送端将各路信号的频谱搬移到各不相同的频段范围，使得他们互不重叠，这样就可 复用同一信道传输。在接收端再利用若干带通滤波器将各路信号分离，并用解调技术将各路 信号被搬移过的频谱再搬回到他们各自原来的频段上，这样各路原始信号就被还原了。 （二）时分多路复用(TDM) 时分复用的理论依据是抽样定理，连续信号被抽样后，它的传送可通过抽样值的传送来 代替。抽样间隔最大可达 。在传送抽样值时，信道仅在抽样瞬间被占用，而在其余 的空闲时间内可传送第二路、第三路……等其他各路信号的抽样值。将各路信号的抽样值有 序的排列起来，就可实现时分复用。在接收端，这些抽样值由适当的同步检测器分离。 4.3 本章知识点 1/ 2 m f