第五章连续时间系统的复频域分析 5.1学习要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯的定义、收敛域：熟练掌握拉普拉斯正反变 换的方法及拉普拉斯的性质。能用拉普拉斯变换分析LTI系统，求零输入响应、零状态响应 等：能根据时域电路模型画出s域电路模型。理解拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。 5.2内容概述 5.2.1拉普拉斯变换及其收敛域 1.双边拉普拉斯变换对 正变换： F(s)=LT[f()]=f(t)e-"dt 反变换： f=L7[FFFeea: 2.单边拉普拉斯变换对 正变换： F(s)=LT[f()]=["f(D)e-"dr 反变换： f0=LI'[Fj=27Fse0 3.拉普拉斯变换存在的条件与收敛域(ROC) 如果存在o的值，使得im()=limf)e=0,则F(s)存在，即f()的拉 普拉斯变换存在的充分条件是存在o,使(t)=f(t)⑦满足绝对可积条件。 在s平面（或称复平面）上使f1(t)=f(t)满足绝对可积条件的o的取值区间 称为F(S)的拉普拉斯变换的收敛域。 5.2.2常见信号的拉普拉斯变换 常用信号的单边拉氏变换如表5-1所示： 1
1 第五章 连续时间系统的复频域分析 5.1 学习要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯的定义、收敛域；熟练掌握拉普拉斯正反变 换的方法及拉普拉斯的性质。能用拉普拉斯变换分析 LTI 系统，求零输入响应、零状态响应 等；能根据时域电路模型画出s 域电路模型。理解拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。 5.2 内容概述 5.2.1 拉普拉斯变换及其收敛域 1．双边拉普拉斯变换对 正变换： ( ) ( ) ( ) st F s LT f t f t e dt d 反变换： 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 j st d j f t L T F s F s e d s j 2．单边拉普拉斯变换对 正变换： 0 ( ) ( ) ( ) st F s LT f t f t e dt 反变换： 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 2 j st j f t LT F s F s e ds u t j 3. 拉普拉斯变换存在的条件与收敛域（ROC） 如果存在 的值，使得 1 lim ( ) lim ( ) 0 t t t f t f t e ，则 F (s) 存在，即 f (t ) 的拉 普拉斯变换存在的充分条件是存在 ，使 t f t f t e ( ) ( ) 1 满足绝对可积条件。 在 s 平面（或称复平面）上使 t f t f t e ( ) ( ) 1 满足绝对可积条件的 的取值区间 称为 F s( ) 的拉普拉斯变换的收敛域。 5.2.2 常见信号的拉普拉斯变换 常用信号的单边拉氏变换如表 5-1 所示：
表5-1常用信号的单边拉氏变换 序 信号f()(t>0) 拉氏变换 收敛域 号 u(t) 1 Re[s]>0 S 6(t) 1 Re[s]>-co 3 ea 1 Re[s]>-a s+a n! 4 tn(n为正整数) 5 Re[s]>0 00 5 s+og Re[s]>0 sint.u(t). 6 cos@t-u(t) 32+o Re[s]>0 e-a sino tu(t) 00 Re[s]>0 (s+a)2+o s+a 8 e-a costu(t) Re[s]>0 (s+a)2+o t"eu(t）(n为正 n! 9 Re[s]>0 整数) (心+a) 10 tsino。1u(t) 20S (s2+o7 Re[s]>0 s2-o6 11 tcosot.u(t) (s2+o6 Re[s]>0 5.2.3拉普拉斯变换的性质 1.线性 如果f)旧的F(s),5()旧的F(s),则线性组合函数f)=a)±时)的拉 普拉斯变换为 LT[a()±j)]=aLT[f]±bLT[ft)]=aF(s)±bF(s) 2
2 表 5-1 常用信号的单边拉氏变换 序 号 信号 f t( ) ( 0) t 拉氏变换 收敛域 1 u t( ) 1 s Re[ ] 0 s 2 ( )t 1 Re[ ]s 3 t e 1 s Re[ ]s 4 n t （n 为正整数） 1 ! n n s Re[ ] 0 s 5 0 sin ( ) t u t . 0 2 2 0 s Re[ ] 0 s 6 0 cos ( ) t u t 2 2 0 s s Re[ ] 0 s 7 sin ( ) t o e t u t 0 2 2 0 ( ) s Re[ ] 0 s 8 0 cos ( ) t e t u t 2 2 0 ( ) s s Re[ ] 0 s 9 ( ) n t t e u t （n 为正 整数） 1 ! ( )n n s Re[ ] 0 s 10 sin ( ) o t t u t 0 2 2 2 0 2 ( ) s s Re[ ] 0 s 11 0 t t u t cos ( ) 2 2 0 2 2 2 0 ( ) s s Re[ ] 0 s 5.2.3 拉普拉斯变换的性质 1. 线性 如果 1 1 f t F s ( ) ( ) ， 2 2 f t F s ( ) ( ) ,则线性组合函数 1 2 f t af t bf t ( ) ( ) ( ) 的拉 普拉斯变换为 LT af t bf t aLT f t bLT f t aF s bF s 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
收敛域为Re[s]>a。 2.尺度变换特性 如果f(t)旧西F(s),且收敛区间为o1<R[s]<o2,则 ra-司r哈 收敛区间： a>0时，ao1<Re[s]<ao2: a<0时，ao2<Re[s<ao1 3.时延特性 如果f(t)旧阳F(s),且收敛区间为o,<R[s<o2,则 LT[f(t-to)]=F(s)e- 收敛区间：不变。 4.复频移特性 如果f(t)旧西F(s),且收敛区间为o,<R[s]<o2,则 LTf(t)e=F(s-s0) 收敛区间：o,+Re[so]<Re[s<o2+Re[so]。 5.时域微分特性 如果f(t)旧西F(s),收敛区间o,<R[s<o2,则 r[品]小=-0)一对于0系统 或 L[品]=s0)一对于0系统 收敛区间：可能增大，不会减小。 6.时域积分特性 如果fu)旧阳F(s),收敛区间o1<Re[s<o2,则 [Cear]-四 收敛区间：由于引入s=0处的极点，收敛域可能缩小。 3
3 收敛域为Re[ ]s 。 2. 尺度变换特性 如果 f t F s ( ) ( ) ，且收敛区间为 1 2 Re[ ]s ，则 1 ( ) ( ) s LT f at F a a 收敛区间： a 0时， a s a 1 2 R e[ ] ； a 0 时，a s a 2 1 Re[ ] 。 3．时延特性 如 果 f t F s ( ) ( ) ， 且 收 敛 区 间 为 1 2 Re[ ]s ， 则 0 0 ( ) ( ) st LT f t t F s e 收敛区间：不变。 4.复频移特性 如果 f t F s ( ) ( ) ，且收敛区间为 1 2 Re[ ]s ，则 0 0 ( ) ( ) s t LT f t e F s s 收敛区间： 1 0 2 0 Re[ ] Re[ ] Re[ ] s s s 。 5.时域微分特性 如果 f t F s ( ) ( ) ，收敛区间 1 2 Re[ ]s ，则 ( ) ( ) (0 ) d LT f t sF s f dt ——对于0 系统 或 ( ) ( ) (0 ) d LT f t sF s f dt ——对于0 系统 收敛区间：可能增大，不会减小。 6．时域积分特性 如果 f t F s ( ) ( ) ，收敛区间 1 2 Re[ ]s ，则 0 ( ) ( ) t F s LT f d s 收敛区间： 由于引入 s=0 处的极点，收敛域可能缩小
7.复频域微积分特性 (1)复频域微分 如果f(t)旧西F(s),收敛区间o1<Re[s]<o2,则 LTO]=-4F(s) ds 收敛区间：可能增加，但对因果信号，收敛域不变。 (2)复频域积分 如果f(u)旧的F(s),收敛区间o,<Re[s<o2,则 [9]-rp 收敛区间：可能减小，但对因果信号，收敛域不变。 8.卷积定理 (1)时域卷积定理 若函数f()旧即E(s)R(s)>o1,f(t)旧西F(s )Re(s)>o2,则 LT[(t)*()]=LT[(t)LT[(t]=F(s)F(s) (2)复频域卷积定理 noioI=2oIruo1:25o5o1 其中，F(s)*FE)=Fp)E(s-p)冲。 9.初值定理和终值定理 (1)初值定理 如果f(t)和∫'(t)存在，且f()的拉普拉斯变换也存在，则 f(0*)=lim f(t)=limsF(s) t01 2.终值定理 如果f(t)和f'(t)存在，f()的拉普拉斯变换也存在，且F(s)的极点位于s平面的左 半平面，在S=0上至多存在单极点，则 f(+co)=lim f(t)=limsF(s) 50 4
4 7.复频域微积分特性 （1）复频域微分 如果 f t F s ( ) ( ) ，收敛区间 1 2 Re[ ]s ，则 ( ) ( ) d LT tf t F s ds 收敛区间： 可能增加，但对因果信号，收敛域不变。 （２）复频域积分 如果 f t F s ( ) ( ) ，收敛区间 1 2 Re[ ]s ，则 ( ) ( ) s f t LT F p dp t 收敛区间： 可能减小，但对因果信号，收敛域不变。 8．卷积定理 (１)时域卷积定理 若函数 1 1 f t F s ( ) ( ) 1 Re(s) , 2 2 f t F s ( ) ( ) 2 Re(s) ，则 1 2 1 2 1 2 LT f t f t LT f t LT f t F s F s [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) (２)复频域卷积定理 1 2 1 2 1 2 1 1 [ ( ) ( )] [ ( )]* [ ( )] [ ( ) ( )] 2 2 LT f t f t LT f t LT f t F s F s j j 其中, 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) j j F s F s F p F s p dp 。 9．初值定理和终值定理 （１）初值定理 如果 f t( )和 f t ( ) 存在，且 f t( )的拉普拉斯变换也存在，则 0 (0 ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s ２．终值定理 如果 f t( )和 f t ( ) 存在， f t( )的拉普拉斯变换也存在，且 F s( )的极点位于 s 平面的左 半平面，在s 0上至多存在单极点，则 0 ( ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s
5.2.4单边拉普拉斯逆变换 (一)部分分式展开法 1.m<n,A(s)=0无重根 假设A(S)=0的根为S,S2,,Sn,则可以将F(s)表示为 F(8)=B(5)=k+K2+k=k A(s)s-51 s-52 s-Ss-S (5-1) 由LTe]=1 s-a 得LT-[1]=e) s-a LT-F(S=LT-K1=>LT-ke0) (5-2) s-S i= 这样，只要求出常数系数K,就可求出拉普拉斯逆变换。常数K;的求法一般有系数 平衡法、极限法、导数法。 2.m<n,A(S)=0有共轭复根 如果m<n,A(S)=0有复根，则复根一定共轭出现（假设α是实数）。假设S,是一个复 根，则S2=S1一定也是方程的根，设s2=-士jB,则可将F(S)分成两部分 F(s)=B(s) B(s) A(s)[(s+a)2+B2]A,(s) K B2(S) (5-3) s+a+jB s+a-jB A(s) =F(S)+F(s) 有： ()=2Ke"cos(B+(LB() (5-4) A,(s) 3.m<n,A(s)=0有重根（假设s,为p阶重根） 象函数可以由以下两部分组成 F)=,K+ (-P'-r++ Ku-D Kip B.(S) (s-s)/(s-s)4(s) (5-5) =F(S)+F(S) 其中F(S)为只包含重根的部分，而F,(S)则为只包含单根的部分
5 5.2.4 单边拉普拉斯逆变换 （一）部分分式展开法 1. m n A s , ( ) 0无重根 假设 A s( ) 0 的根为 1 2 , ,..., n s s s ，则可以将 F s( )表示为 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n i n i i B s K K K K F s A s s s s s s s s s (5-1) 由 1 [ ]t LT e s a 得 1 1 [ ] ( ) t LT e u t s a 1 1 1 1 1 1 [ ( )] [ ] [ ] ( ) i n n n i i s t i i i i i i K K LT F s LT LT K e u t s s s s (5-2) 这样，只要求出常数系数 Ki ，就可求出拉普拉斯逆变换。常数 Ki 的求法一般有系数 平衡法、极限法、导数法。 2. m n A s , ( ) 0有共轭复根 如果m n A s , ( ) 0有复根，则复根一定共轭出现（假设 是实数）。假设 1 s 是一个复 根，则 * 2 1 s s 一定也是方程的根，设 1,2 s j ，则可将 F s( )分成两部分 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B s B s F s A s s A s K K B s s j s j A s F s F s (5-3) 有： 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 cos( ) ( ) [ ] ( ) t B s f t K e t u t LT A s (5-4) ３. m n A s , ( ) 0有重根（假设 1 s 为 p 阶重根） 象函数可以由以下两部分组成 11 12 1 2 1( 1) 1 2 1 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) P P p p K K K B s K F s s s s s s s s s A s F s F s (5-5) 其中 1 F s( ) 为只包含重根的部分，而 2 F s( ) 则为只包含单根的部分