华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（学习指导书）第三章 傅里叶变换（连续时间信号的傅里叶分析）

第三章连续时间信号的傅里叶分析 3.1学习要求 通过本章的学习，学生应理解信号分解为正交函数的意义。掌握信号的频域分析方法一 傅里叶级数和傅里叶变换。理解周期信号与非周期信号频谱的特点、区别和联系，周期信号 傅里叶变换的特点，信号时域特性与频域特性之间的关系，抽样信号频谱的特点与抽样定理。 掌握典型信号的傅里叶变换，并能灵活运用傅里叶变换的性质对信号进行正反变换。掌握周 期序列的离散傅里叶级数表示，非周期序列的离散时间傅里叶变换及其性质。 3.2内容概述 3.2.1周期信号的傅里叶级数表示 (一)三角形式的傅里叶级数表示 设满足狄里赫利条件的周期信号f(),周期为T,角频率为o1= 2元 ,分解为三角函 T 数形式的傅里叶级数为 f()=d+acosn0t+b,sin no) (3-1) 其中an,bn为傅里叶系数。式(3-28)中直流分量、余弦分量和正弦分量傅里叶系数分别 为 a0= T。 (3-2) an -If f()cosnontdt (3-3) f(t)sin no tdt (3-4) (二)指数形式的傅里叶级数 ()->F.emm (3-5) 其中F,为复指数形式傅里叶级数的复系数

1 第三章 连续时间信号的傅里叶分析 3.1学习要求 通过本章的学习，学生应理解信号分解为正交函数的意义。掌握信号的频域分析方法— 傅里叶级数和傅里叶变换。理解周期信号与非周期信号频谱的特点、区别和联系，周期信号 傅里叶变换的特点，信号时域特性与频域特性之间的关系，抽样信号频谱的特点与抽样定理。 掌握典型信号的傅里叶变换，并能灵活运用傅里叶变换的性质对信号进行正反变换。掌握周 期序列的离散傅里叶级数表示，非周期序列的离散时间傅里叶变换及其性质。 3.2内容概述 3.2.1 周期信号的傅里叶级数表示 （一）三角形式的傅里叶级数表示 设满足狄里赫利条件的周期信号 f (t)，周期为T1，角频率为 1 1 2 T    ，分解为三角函 数形式的傅里叶级数为 ( ) ( cos sin ) 1 1 1 0 f t a a n t b n t n n n        (3-1) 其中 n n a ,b 为傅里叶系数。式(3-28)中直流分量、余弦分量和正弦分量傅里叶系数分别 为    0 1 0 ( ) 1 1 0 t T t f t dt T a (3-2)    0 1 0 1 1 ( )cos 2 t T t n f t n tdt T a  (3-3) f t n tdt T b t T t n    0 1 0 1 1 ( )sin 2  (3-4) （二）指数形式的傅里叶级数 jn t n n f t F e 1 ( )      (3-5) 其中 Fn 为复指数形式傅里叶级数的复系数

Fn= f(1e-movdt n=0,±1，±2， (3-6) (三)周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 1.偶对称信号 偶对称信号是指信号f()是时间的偶函数，即f(t)=f(-),其波形相对于纵轴对称。 Fn=En= 2 n=0 (3-7) Cn=a =2F 实偶信号的傅里叶系数是实函数，且是的偶函数，实偶信号的傅里叶级数中不包含正 弦项，只可能含有直流项和余弦项。 2.奇对称信号 奇对称信号是指信号f()是时间的奇函数，即f(t)=一f(-),其波形相对于原点对称。 1 F=-F=- π Pn=- 2 (3-8) Cn =b =2jF 实奇信号的傅里叶系数F,是虚函数，且是的奇函数，实奇信号的傅里叶级数中不包含 余弦项，只可能含有正弦项。 3.奇谐信号 如果信号∫()的前半周期波形沿时间轴平移半个周期T/2后，与后半周期波形相对于 横轴对称，即满足f0)=一士马），这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 其傅里叶级数展开式中将只含有基波和奇次谐波的正、余弦项，不含有偶次谐波项，即 a0=a2=a4=…=b2=b4=b6=…=0。 3.2.2非周期信号的傅里叶变换 (一)非周期信号的傅里叶变换 傅里叶正变换 F(o)=FT[f】=fu)edi (3-9) 傅里叶反变换

2 ( ) 0, 1, 2, 1 2 1 2 1 1 1       f t e dt n T F T T jn t n  (3-6) （三）周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 1. 偶对称信号 偶对称信号是指信号 f (t)是时间的偶函数，即 f (t)  f (t) ，其波形相对于纵轴对称。 2 0 2 n n n n n n n a F F c a F               (3-7) 实偶信号的傅里叶系数是实函数，且是n的偶函数，实偶信号的傅里叶级数中不包含正 弦项，只可能含有直流项和余弦项。 2．奇对称信号 奇对称信号是指信号 f (t)是时间的奇函数，即 f (t)   f (t) ，其波形相对于原点对称。 1 2 2 2 n n n n n n n F F jb c b jF                     (3-8) 实奇信号的傅里叶系数 Fn 是虚函数，且是n的奇函数，实奇信号的傅里叶级数中不包含 余弦项，只可能含有正弦项。 3．奇谐信号 如果信号 f (t)的前半周期波形沿时间轴平移半个周期 / 2 T1 后，与后半周期波形相对于 横轴对称，即满足 ) 2 ( ) ( T1 f t   f t  ，这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 其傅里叶级数展开式中将只含有基波和奇次谐波的正、余弦项，不含有偶次谐波项，即 0 a0  a2  a4  b2  b4  b6  。 3.2.2 非周期信号的傅里叶变换 （一）非周期信号的傅里叶变换 傅里叶正变换     F  FT f t  f t e dt jt () [ ( )] ( ) (3-9) 傅里叶反变换

0=TroI=2 F(o)eido (3-10) F(o)称为f(t)的频谱密度函数，频谱密度函数F(o)一般为复函数，可表示为 F(@)=F(@)ei()=R(@)+jX(@). (二)求频谱密度函数F(oO)的方法 (1)由定义求F(o)。 (2)根据傅里叶变换的性质求F(o)。 (3)利用周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系求F(⊙)。 (三)非周期信号频谱的特点 (1)连续谱。非周期信号的频谱包含0~0的所有频率分量： (2)收敛性。信号的能量大部分集中在低频段，F(o)随回增大，总趋势减小。 3.2.3常见非周期信号的傅里叶变换 (一)典型非周期信号的傅里叶变换 1.矩形脉冲信号 1 G()= (3-11) 其频谱为 Fo)-Gaeh=emh-子sng受 n号 (3-12) =T a 其幅度谱及相位谱分别为 Fo=a受 (3-13) 2(2n+10z p(o)= (3-14) π 22n+D 2.单边指数信号 3

3            f t FT F F e d j t ( ) 2 1 ( ) [ ( )] 1 (3-10) F() 称为 f (t) 的频谱密度函数，频谱密度函数 F() 一般为复函数，可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       F F e R jX j    。 （二）求频谱密度函数 F()的方法 （1）由定义求 F()。 （2）根据傅里叶变换的性质求 F()。 （3）利用周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系求 F()。 （三）非周期信号频谱的特点 （1）连续谱。非周期信号的频谱包含0~的所有频率分量； （2）收敛性。信号的能量大部分集中在低频段， F()随  增大，总趋势减小。 3.2.3 常见非周期信号的傅里叶变换 （一）典型非周期信号的傅里叶变换 1. 矩形脉冲信号 1 2 ( ) 0 2 t G t t            (3-11) 其频谱为 / 2 / 2 2 ( ) ( ) sin( ) 2 sin( ) 2 ( ) 2 2 j t j t F G t e dt e dt Sa                                    (3-12) 其幅度谱及相位谱分别为 ( ) ( ) 2 F Sa     (3-13) 4 2(2 1) 0 [ ] ( ) 2(2 1) 4( 1) [ ] n n n n                           (3-14) 2. 单边指数信号

设单边指数信号表达式为 e-ar f0=0 (1≥0) a>0 (t<0) 其频谱为 F()-f()emdi=feed (a>0)(3-15) a+j@ 幅度谱和相位谱分别为 Fo以2a2+o 1 p(a)=-arcg(巴) C 3.双边奇指数信号 双边奇指数信号表达式为 (1>0) f()= a>0 (t<0) 其频谱为 F()=f(t)e-mdt=-1 1 20 =-j a+jo a-jo 2+02 幅度谱和相位谱分别为 IF(@)=-21o1 a2+o2 π 0>0 p(o)= 2 2 0<0 4.双边偶指数信号 双边偶指数信号表达式为 f(t)=e-aM -0<t<00, a>0 其频谱为 2a F(0)= 2+02 幅度谱和相位谱分别为 IF(@)-- 2a a2+02 p(o)=0 5.钟形脉冲信号 4

4 设单边指数信号表达式为 0 0 ( 0) ( 0) ( )           t e t f t t 其频谱为 ( 0) 1 ( ) ( ) 0                     j F f t e dt e e dt j t t j t (3-15) 幅度谱和相位谱分别为 2 2 1 ( )     F  ( ) ( )      arctg 3. 双边奇指数信号 双边奇指数信号表达式为 0 ( 0) ( 0) ( )             e t e t f t t t 其频谱为 ( ) ( ) j t F f t e dt         2 2 1 1 2 j j j              幅度谱和相位谱分别为              0 2 0 2 ( ) 2 | | ( ) 2 2          F  4．双边偶指数信号 双边偶指数信号表达式为 ( ) , 0 | |           f t e t t 其频谱为 2 2 2 ( )      F  幅度谱和相位谱分别为 ( ) 0 2 ( ) 2 2         F  5．钟形脉冲信号

钟形脉冲信号表达式为 f(t)=Ee -00<t<00 其频谱为 F(0)=f()emldi=EedEe (二)奇异信号的傅里叶变换 1.单位冲激函数 F)F))=1 7-0T 2.单位直流信号 幅度为1的单位直流信号，其FT1]=2πδ(o) 3.符号函数 符号函数不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换是存在的，为 F()=FT[sgn(t)]=lim- -2j02 a0a2+02j0 4.阶跃信号 阶跃信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换存在，为 -FrFTern-sa) 5.单位冲激偶 FT[δ'(]=δ()e'dh=-(-jo)=jo 3.2.4傅里叶变换的性质 1.线性 若FT[Uf)]-F(o) i=2a.n则m[0-o5oa为常数， n为正整数。 2.奇偶虚实性 无论f(t)为实函数或虚函数，都有如下性质 (1) FTLf(-t)]=F(-@) FTLf"(t)]=F"(-@) FTLf(-1)]=F(@) (2)实偶函数f(t)的频谱是o的实偶函数。 5

5 钟形脉冲信号表达式为        f t Ee t t 2 ( ) ( )  其频谱为 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) t j t j t F f t e dt E e e dt E e                         （二） 奇异信号的傅里叶变换 1. 单位冲激函数 ) 1 2 ( 1 ( ) [ ( )] lim 0            F FT t Sa 2．单位直流信号 幅度为1的单位直流信号，其 FT[1]  2 () 3．符号函数 符 号 函 数 不 满 足 绝 对 可 积 条 件 ， 但 其 傅 里 叶 变 换 是 存 在 的 ， 为       j j F FT t 2 2 ( ) [sgn( )] lim 2 2 0       4．阶跃信号 阶跃信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换存在，为        j FT u t FT FT t 1 sgn( ) ( ) 2 1 2 1 ( )           5. 单位冲激偶      FT t t e dt j j j t          [ ( )] ( ) ( ) ' ' 3.2.4 傅里叶变换的性质 1. 线性 若 FTf t  F i n i i ( )  () 1,2,3,, ，则           n i i i n i FT ai f i t a F 1 1 ( ) () ，其中a 为常数， n 为正整数。 2．奇偶虚实性 无论 f (t)为实函数或虚函数，都有如下性质 （1） * * * * [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) FT f t F FT f t F FT f t F                （2）实偶函数 f (t)的频谱是 的实偶函数