线性代数例3判断向量组,手(1,0,.,0),82 = (0,1,..-,0),的线性相关性。(g, = (0,0,,1)解1假设存在一组常数k,k.,k,使得kei+k82+...+k,n=0因 ke, +k,e2 +...+knon =(ki,k2,.*,kn)所以 (k,k..kn)=0即 k,=k,二...=kn=0因此61,62,·8n线性关。81,62,,称为基本单位向量返回E一A贝
例 3 判断向量组 的线性相关性。 解 假设存在一组常数k1 ,k2 ,.,kn 使得 所以 即 k1=k2=.=kn=0 因此 线性关。 返回 上一页 下一页
线性代数例5设向量组,αz,α线性无关β=α+αz，β,=αz+α,β,=α+α1，试证向量组β,β2,β,也线性无关。证假设存在一组常数k,k,k,使得k,β +k2β2 +k,β, =0则 (k +kg)α +(k +k2)αz +(k +kg)αg =0k,+k,=0由αi,α2,α,线性无关，故有ki+k,=0kz+k,=0由于满足k,k,k,的取值只有k,=kz=k=0所以β,β2,β,线性无关。返回一页
例5 设向量组 线性无关， ， ， ，试证向量组 也 线性无关。 证 假设存在一组常数k1 ,k2 ,k3 使得 由 线性无关，故有 由于满足k1 ,k2 ,k3的取值只有k1=k2=k3 =0 所以 线性无关。 返回 上一页 下一页
线性代数定义6乡给定向量α和向量组β1,β2.,βt,如果存在一组数k1,k2...,kt，使α=kiβi+k2β2+...+ktβt则称向量α称为向量组β1,β2,,βt的一个线性组合,或者说α可由向量组β1,β2..,β线性表出(示)a=Zk,β此时,也记i=1
定义 6 给定向量α和向量组β１,β２,.,βt, 如果存在 一组数k１,k２,.,kt，使 α＝k１β１＋k２β２+.＋ktβt. 则称向量α称为向量组β１,β２,.,βt的一个线性组合,或 者说α可由向量组β１,β２,.,βt线性表出(示), . 此时,也记 1 t i i i k = a =
线性代数例7 设α=(2,-3,0),β-(0,-1,2),)=(0,-7,-4),试间 y能否由α,线性表出?解设y=k1 α+k2 β于是得方程组2k, =0-3kj -k2 = -72k2 = -4由第一个方程得k1=0,代入第二个方程得k2=7,但k2不满足第三个方程，故方程组无解所以不能由α线性表出
例7 设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由 α,β线性表出? 解 设 γ=k１α+k２β 于是得方程组 1 1 2 2 2 0 3 7 2 4 k k k k = − − = − = − 由第一个方程得k１=0,代入第二个方程得k２=7,但k ２不满足第三个方程,故方程组无解. 所以γ不能由α,β线性表出
线性代数定理1向量组αj,αz,-α（s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。证充分性：设α,αz,α,中有一个向量能由其他向量线性表出，不妨设α=k,α,+k,α+…+k,α,-α,+k,α, +...+k,α,=0所以α1,α2,.α,线性相关。返回一页
定理1 向量组 （s≥2）线性相关的充要条件 是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。 证 充分性：设 中有一个向量能由其他向 量线性表出，不妨设 所以 线性相关。 返回 上一页 下一页