第一章n阶行列式81全排列及逆序数解方程是代数中的一个基本问题，中学代数中，解线性方程组问题时引出了二阶和三阶行列式，我们知道它们的展开式分别为aa2(1-=ana22-ai2a2[a21a221)[a1a2ai3a2ia22a23=a1a233+a12a23a3ia13a21a321a31a32a33(1-2 )a13a2231aa23a32-a12a21a33其中元素aij的两个下标/与j分别表示am所在的行与列的序数，我们观察到（1.2）式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系？有什么关系？为此我们引入全排列与逆序数等概念定义1由1，2，，n组成的一个有序数组称为一个n.级全排烈（简称排列)有序数组12和21，由两个数构成，称为二级排列，有序数组213则称为三级排列，三级排列的总数为3!=6个，4321为四级排列，四级排列的总数为4!=24个，n级排列的总数是n(n-1)(n-2)·….·2·1=n!，读为"n阶乘"显然12n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序定义2在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个遵序（反序）。一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数一个排列ji2jn的逆序数，一般记为(ijjn).排列12的逆序数为0：排列21的逆序数为1；排列231的数对21、31均构成逆序，而23不构成逆序，因此排列231的逆序数为2：同理排列213的逆序数是1，即T（213)=1.进一步我们有以下定义，定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排烈二级排列12为偶排列，21为奇排列：三级排列231为偶排列，213为奇排列，现在我们探讨(1-1）、（1-2)式右端各项的规律：(1-1)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，对它们第二个下标进行观察：第二个下1
1 第一章 n 阶行列式 §1 全排列及逆序数 解方程是代数中的一个基本问题，中学代数中，解线性方程组问题时引出了二阶和三阶 行列式，我们知道它们的展开式分别为 11 12 21 22 a a a a =a11a22-a12a21， (1- 1) 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a13a22a31-a11a23a32-a1２a2１a33， （1-２） 其中元素 aij 的两个下标 i 与 j 分别表示 aij 所在的行与列的序数. 我们观察到(1.2)式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个 数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们 不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关 系？为此我们引入全排列与逆序数等概念. 定义 1 由 1，2，.，n 组成的一个有序数组称为一个 n 级全排列(简称排列). 有序数组 12 和 21，由两个数构成，称为二级排列，有序数组 213 则称为三级排列，三 级排列的总数为 3!=6 个，4321 为四级排列，四级排列的总数为 4!=24 个，n 级排列的总数是 n(n-1)(n-2)·.·2·1=n!，读为“n 阶乘”. 显然 12.n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的， 其它的排列都或多或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与 大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序(反序).一个排列中 逆序的总数称为这个排列的逆序数. 一个排列 j1j2.jn 的逆序数，一般记为τ(j1j2.jn). 排列 12 的逆序数为 0；排列 21 的逆序数为 1；排列 231 的数对 21、31 均构成逆序，而 23 不构成逆序，因此排列 231 的逆序数为 2；同理排列 213 的逆序数是 1，即τ(213)=1.进 一步我们有以下定义. 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列. 二级排列 12 为偶排列，21 为奇排列；三级排列 231 为偶排列，213 为奇排列. 现在我们探讨(1-1)、(1-2)式右端各项的规律： (1-1)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，对它们第二个下标进行观察：第二个下
标由两个自然数1和2组成，只能构成两个二级排列：12和21，排列个数等于（1-1）式右端的项数，且排列12的逆序数为0，对应项的符号为“+”，而排列21的逆序数为1，所对应项的符号为“_”.(1-2)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，第二个下标由自然数1、2和3组成，构成的三级排列共有3！=6个：123、231、312、132、213、321，这正好等于（1-2)式右端的项数，排列为123、231、312的逆序数分别为0、2、2，它们均为偶排列，对应项的符号为“车”，排列132、213、321的逆序数分别为1、1、3，它们都是奇排列，对应项的符号为“三”，综上所述：（1-2)式右端各项可写成α,~2;~3%，这里jsjs是1、2、3的一个三级排列，当j为偶排列时，项aia2i3,前面的符号为正，当jjijs为奇排列时，项aiza2i,a3,前面的符号为负，各项所带符号均可表示为(-1)，其中J=T（jijisjs）为排列jjzis的逆序数.从而(1-2)式可写为[1243-Z(-1)baxn,a2122a23iis[a31a23]Z表示对全体三级排烈求和J2js例1计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性(1)42531，（2）135..（2n-1)246(2n).解（1）对于所给排列，4排在首位，逆序个数为0：2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1：5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4.把这些数加起来，即0+1+0+2+4=7故排列42531的逆序数为7，即z（42531)=7，因而是奇排列(2）同理可得： [1. - (2-1 46- -2) -+ (- (--)+1- (.+ ),2所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3时为奇排列s2行列式的定义定义4n阶行列式ar a2 .. ana21a22.a2naman2..am等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积(1-3)ai,a2am2
2 标由两个自然数 1 和 2 组成，只能构成两个二级排列：12 和 21，排列个数等于(1-1)式右端 的项数，且排列 12 的逆序数为 0，对应项的符号为“+”，而排列 21 的逆序数为 1，所对应项 的符号为“-”. (1-2)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，第二个下标由自然数 1、2 和 3 组成， 构成的三级排列共有 3!=6 个：123、231、312、132、213、321，这正好等于(1-2)式右端的 项数，排列为 123、231、312 的逆序数分别为 0、2、2，它们均为偶排列，对应项的符号为 “+”，排列 132、213、321 的逆序数分别为 1、1、3，它们都是奇排列，对应项的符号为“-”. 综上所述：(1-2)式右端各项可写成 1 2 3 1 2 3 j j j a a a ，这里 j1j2j3 是 1、2、3 的一个三级排列，当 j1j2j3 为偶排列时，项 1 2 3 1 2 3 j j j a a a 前面的符号为正，当 j1j2j3 为奇排列时，项 1 2 3 1 2 3 j j j a a a 前面的符号 为负，各项所带符号均可表示为(-1)J，其中 J=τ（j1j2j3）为排列 j1j2j3的逆序数.从而(1-2)式 可写为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 11 12 13 ( ) 21 22 23 1 2 3 31 32 33 ( 1) j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a = − ， 1 2 3 j j j 表示对全体三级排列求和. 例 1 计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性. (1) 42531，（2） 135.（2n-1）246.(2n). 解（1） 对于所给排列，4 排在首位，逆序个数为 0；2 的前面有一个比它大的数，逆序 个数为 1；5 的前面有 0 个比它大的数，逆序个数为 0；3 的前面有两个比它大的数，逆序个 数为 2；1 的前面有四个比它大的数，逆序个数为 4.把这些数加起来，即 0+1+0+2+4=7 故排列 42531 的逆序数为 7，即τ(42531)=7，因而是奇排列. (2) 同理可得： τ[135.(2n-1)246.(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+.+2+1= ( 1) 2 n n + . 所给排列当 n=4k 或 4k+1 时为偶排列，当 n=4k+2 或 4k+3 时为奇排列. §2 行列式的定义 定义 4 n 阶行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 1 2 1 2 n j j nj a a a （1-3）
的代数和，这里jj2""jn是1，2，"，n的一个排列，每一项（1-3）都按下列规则带有符号当jij2""jn是偶排列时，（1-3）带有正号，当jij2jn是奇排列时，（1-3）带有负号.这一定义可以写成a2..ana21a22.. a2nE (-1)(h-.)111(1. 4)-a,a2i...ana目：j2J.aman2..am这里表示对所有n级排列求和j-n例2计算四阶行列式000a00a21a22D=0a33a3iag2a4a41a42a43解根据定义，D是4!=24项的代数和，但每一项的乘积";~2:%4i:中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0的项.由于第1行元素除au外全为0，故只需考虑j=1，第2行元素中只有a21,az不为0，现已取ji=1，故必须取j2=2，同理必须取j=3，ji=4，这就是说行列式展开式中不为0的项只可能是1a223a44，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式D=aia22^3A44·行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线.主对角线以上的元素全为零（即闪j时元素ai=0）的行列式称为下三角行烈式，它等于主对角线上各元素的乘积.主对角线以下的元素全为零（即i>j时元素aij=0)的行列式称为上三角行烈式，同理可证它等于主对角线上各元素的乘积.行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零（即j时元素aj=0)的行列式称为对角行烈式，由上面可知它等于对主角线上元素的乘积，即lana22D==ana22*.amm'..an例3证明3
3 的代数和，这里 j1j2.jn 是 1，2，.，n 的一个排列，每一项（1-3）都按下列规则带有符号： 当 j1j2.jn 是偶排列时，（1-3）带有正号，当 j1j2.jn 是奇排列时，（1-3）带有负号.这一定义 可以写成 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a = − ， (1.4) 这里 1 2 n j j j 表示对所有 n 级排列求和. 例 2 计算四阶行列式 11 21 22 31 32 33 41 42 43 44 0 0 0 0 0 0 a a a D a a a a a a a = . 解 根据定义，D 是 4!=24 项的代数和，但每一项的乘积 1 2 3 4 1 2 3 4 j j j j a a a a 中只要有一个 元素为 0，乘积就等于 0，所以只需计算展开式中不明显为 0 的项.由于第 1 行元素除 a11外全 为 0，故只需考虑 j1=1，第 2 行元素中只有 a21,a22 不为 0，现已取 j１=1，故必须取 j２=2，同理 必须取 j3=3，j4=4，这就是说行列式展开式中不为 0 的项只可能是 11 22 33 44 a a a a ，而列标排列 1234 的逆序数为 0，即此项符号为正，因此行列式 D a a a a = 11 22 33 44 . 行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线.主对角线以上的元素全为零(即 i<j 时 元素 aij=0)的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积.主对角线以下的元 素全为零(即 i>j 时元素 aij=0)的行列式称为上三角行列式，同理可证它等于主对角线上各元 素的乘积.行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零(即 i≠j 时元素 aij=0)的行 列式称为对角行列式，由上面可知它等于对主角线上元素的乘积，即 11 22 11 22 nn nn a a D a a a a = = . 例 3 证明
aanai2n(n-1):D:=(-1) 2 aina2,n-1**an-1,2aman-l,1an-1,2ant上面的行列式中，未写出的元素都是0.Z（-1)a^a2ham。，只需对可能不为0的乘积证由于行列式的值为：j2ja(-1)"ai,α2"am.求和，考虑第n行元素am。，知jn=1，再考虑第n-1行元素ar1,jir1，知jn--=1或jn-=2，由于jn=1知jri=2，如此类推jz=n-1,j=n,排列j2jn只能是排列n(n-1)…21,它的逆序数为I=（n-1）+（n-2）+：：+2+1=n（n-1）2.所以行列式的值为n(n-1)(1)2an^2,n- *. m-1,2a1由此可见atai4ai2ai30a21a22ai3D:=00ag2asi000a41例4设0an0....alik....::00...aukak1...D=binb.Cik..Cui......目:bambtCnl..Cnk[bi1ai1binaik......*...:D, =D, =[batb...akakl证明D=D,Dz.dnd,+n......:证记D=bk+n,!bk+n,kn...其中dj=aij(i,j=1,2,"",k);dki, kj=bj(i, j=1, 2, -", n);di,j=0(i=1,2,, k; j-1,2,", n).考察D的一般项（-1)"di,dan.dmdk+ln+".dk+n+n，R是排列rzk"kn的逆序4
4 11 12 1 ( 1) 2 1 2, 1 1,2 1 1,1 1,2 1 ( 1) n n n n n n n n n n a a a D a a a a a a a − − − − − = = − . 上面的行列式中，未写出的元素都是 0. 证 由于行列式的值为： 1 2 1 2 1 2 ( 1) n n J j j nj j j j − a a a ，只需对可能不为 0 的乘积 1 2 1 2 ( 1) n J j j nj − a a a 求和，考虑第 n 行元素 n nj a ，知 jn=1，再考虑第 n-1 行元素 an-1,jn-1，知 jn-1=1 或 jn-1=2，由于 jn=1 知 jn-1=2，如此类推 j2=n-1,j1=n,排列 j1j2.jn 只能是排列 n(n-1).21, 它的逆序数为 J=(n-1)+(n-2)+.+2+1=n(n-1)2,所以行列式的值为 ( 1) 2 1 2, 1 1,2 1 ( 1) n n n n n n a a a a − − − − . 由此可见 11 12 13 14 21 22 13 14 23 32 41 31 32 41 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a D a a a a a a a = = . 例 4 设 11 1 1 11 1 11 1 1 1 0 0 0 0 k k kk k n n nk n nn a a a a D c c b b c c b b = ， 11 1 1 1 k k kk a a D a a = ， 11 1 2 1 n n nn b b D b b = ， 证明 D=D1D2. 证 记 11 1, ,1 , k n k n k n k n d d D b b + + + + = ， 其中 dij=aij (i,j=1,2,.，k)； dk+i,k+j=bij (i,j=1,2,.，n)； di,k+j=0 (i=1,2,.，k; j=1,2,.，n). 考察 D 的一般项 1 2 1 2 1, 1 , ( 1) k k k R r r kr k r k n r n d d d d d − + + + + ，R 是排列 1 2 1 k k k n r r r r r + + 的逆序
数，由于d,+k=0（i=1,2,"，k;j-l，2，"，n)，因此r,2,"",r均不可大于k值，否则该项为0，故，2r只能在1，2，，中选取，从而+2*+只能在k+1,+2,，tn中选取，于是D中不为0的项可以记作(-1)"ap,a2p.ap bg bgn-bm.这里p,=r，qi=i-k，1≤r≤k，k+1≤≤k+n，R也就是排列PP2P(k+q）(k+q）的逆序数，以P，Q分别表示排列pP2与qiq2的逆序数，则有R=P+Q，于是D= ZZ (-1)+ap,a2p"amp big, b2,g..b.Pr-Pegig=Z(-1)ap,a2p.am (Z (-1)b.,b.g.b.g.)P"P9-9= Z (-1)'ap,a2p m D,Pr-P= D,D, S3 对换定义5排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫做对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换（邻换）定理1一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性证先证相邻对换的情形.设排列为PPi-P,Pi+Pi+2"Pn，对换与Pi+排列变为PPi--Pi+PP+2Pn显然pPi-Pi+2"P,这些数的逆序数经过对换并不改变，仅p,与Pi两数的逆序数改变：当p,<piu时，经对换后，Pi+1P,是逆序，新排列的逆序数增加1，当p,>Pia时，Pi+P,不是逆序，新排列的逆序数减少1，所以排列Pl"Pi-iPPi+iPi+2"P,与排列PPi-Pi+P,Pi+2"P,的逆序数相差1，奇偶性改变下证一般对换的情形.设排列为PPi-P,Pi"Pu+mPu++P+m+2"-P,，对换p,与Pm把p,往后连续作m次相邻对换，排列变为PPi--PiP+mP,P++Pi+m+2-Pn，再把Pi+m++往前连续作m+1次相邻对换，排列变为P"Pi-Pi+m+IPi+*""Pi+mPPi++2-Ps，从而实现了P,与5
5 数，由于 , 0 i j k d + = (i=1,2,.，k; j=1，2，.，n)，因此 1 2 , , , k r r r 均不可大于 k 值，否则 该项为 0，故 1 2 , , k r r r 只能在 1，2，.，k 中选取，从而 1, 2 , , k k k n r r r + + + 只能在 k+1,k+2,.,k+n 中选取，于是 D 中不为 0 的项可以记作 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) k n R p p kp q q nq − a a a b b b ， 这 里 i i p r = , i k i q r k = − + , 1 i r k , 1 k i k r k n + + + ， R 也 就 是 排 列 1 2 1 ( ) ( ) k n p p p k q k q + + 的逆序数，以 P，Q 分别表示排列 1 2 k p p p 与 1 2 k q q q 的逆 序数，则有 R=P+Q，于是 1 2 1 2 1 1 1 2 1, 2, , ( 1) k n k n P Q p p kp q q n q p p q q D a a a b b b + = − 1 2 1 2 1 1 1 2 1, 2, , ( 1) ( ( 1) ) k n k n P Q p p kp q q n q p p q q = − − a a a b b b 1 2 1 1 2 2 ( 1) k k P p p kp p p = − a a a D = DD1 2 . §3 对换 定义 5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫做对换，将相 邻两数对换，叫做相邻对换(邻换). 定理 1 一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形. 设排列为 1 1 1 2 i i i i n p p p p p p − + + ，对换 i p 与 i 1 p + 排列变为 1 1 1 2 i i i i n p p p p p p − + + ， 显然 1 1 2 i i n p p p p − + 这些数的逆序数经过对换并不改变，仅 i p 与 i 1 p + 两数的逆序数改变： 当 i i 1 p p + 时，经对换后， i i 1 p p + 是逆序，新排列的逆序数增加 1，当 i i 1 p p + 时， i i 1 p p + 不 是逆序，新排列的逆序数减少 1 ， 所 以 排 列 1 1 1 2 i i i i n p p p p p p − + + 与排列 1 1 1 2 i i i i n p p p p p p − + + 的逆序数相差 1，奇偶性改变. 下证一般对换的情形. 设排列为 1 1 1 1 2 i i i i m i m i m n p p p p p p p p − + + + + + + ，对换 i p 与 i m 1 p + + ,把 i p 往后连续作 m 次相邻对换，排列变为 1 1 1 1 2 i i i m i i m i m n p p p p p p p p − + + + + + + ，再把 i m 1 p + + 往前连续作 m+1 次相邻对换，排列变为 1 1 1 1 2 i i m i i m i i m n p p p p p p p p − + + + + + + ，从而实现了 i p 与