第三章向量与向量空间s1n维向量在平面几何中，坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述，点的坐标是一个有序数对(x,y).一个n元方程ax+ax+.+a,x,=b可以用一个n一1元有序数组(a,a2,"",an,b)来表示.1xn矩阵和n×1矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组(a,α2，,α2）来表示.有序数组的应用非常广泛，有必要对它们进行深入的讨论定义1n个数组成的有序数组(3.1)(a,az,",a.)或Ca2(3.2)...Lan.称为一个n维向，简称向一般，我们用小写的粗黑体字母，如α,β,等来表示向量，（3.1)式称为一个行向量，（3.2)式称为一个烈向量数α,2，,a，称为这个向量的分量.a,称为这个向量的第i个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量，实际上，n维行向量可以看成1xn矩阵，n维列向量也常看成nx1矩阵.下面我们只讨论实向量.设k和1为两个任意的常数.α，β和为三个任意的n维向量，其中a=(a,a,"",an),β=(b,b2,,b.)定义2如果α和β对应的分量都相等，即1
1 第三章 向量与向量空间 §１ n 维向量 在平面几何中,坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述,点的坐标是一个有序 数对 ( , ) x y .一个 n 元方程 1 1 2 2 n n a x a x a x b + + + = 可以用一个 n−1 元有序数组 1 2 ( , , , , ) n a a a b 来表示.1n 矩阵和 n1 矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从 1 月到 12 月每月的 产值也可用一个有序数组 1 2 12 ( , , , ) a a a 来表示.有序数组的应用非常广泛,有必要对它们 进行深入的讨论. 定义 1 n 个数组成的有序数组 1 2 ( , , , ) n a a a （３.１） 或 1 2 n a a a （３.２） 称为一个 n 维向量,简称向量. 一般,我们用小写的粗黑体字母,如 α, β,γ, 等来表示向量,(3.1)式称为一个行向 量,(3.2)式称为一个列向量.数 1 2 , , , n a a a 称为这个向量的分量. i a 称为这个向量的第 i 个 分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量. 实际上, n 维行向量可以看成 1n 矩阵, n 维列向量也常看成 n1 矩阵. 下面我们只讨论实向量.设 k 和 l 为两个任意的常数.α , β 和 γ 为三个任意的 n 维向量, 其中 1 2 ( , , , ) n α = a a a , 1 2 ( , , , ) n β = b b b . 定义 2 如果 α 和 β 对应的分量都相等,即
a,=b,i=1,2,",n就称这两个向量相等，记为a=β定义3向量(ai+br,aa+bz, *",an+bn)称为a与β的和，记为a+β.称向量(kai, kaz, ..,kan)为a与k的数量乘积，简称数乘，记为ka定义4分量全为零的向量(0,0,.,0)称为零向量，记为0.α与-1的数乘(-1)a=(-ai,-a2,"",-an)称为α的负向量，记为-α.向量的减法定义为a-β=a+（-β）.向量的加法与数乘具有下列性质：(1)a+β=β+a：（交换律）(2)（α+β）+=a+（β+)；（结合律）(3)a+0=a;(4)a+(-a)=0:(5)k(a+β)=ka+kβ:(6)(k+)) a=ka+la;(7)k(la)=(k))a;(8)1α=a;(9)0a=0:(10)k0=0.在数学中，满足（1）～（8）的运算称为线性运算.我们还可以证明：(11)如果k≠0且≠0，那么ka≠0.显然，n维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义，与把它们看作行矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地，我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算，这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的，并且同样具有性质(1)～(11).例 1 设a,=(1,1,0), a, =(0,1,1), α, =(3,4,0),求3α, +2α, -αg解3α, +2α, -α, =3(1,1,0)+2(0,1,1)-(3,4,0)=(3,3,0)+(0,2,2)-(3, 4,0)=(0,1,2)例 2 设 α, =(1,1,1,1), αz =(1,1,-1,-1),α3 =(1,-1,1,-1), α4 =(1,-1,-1,1) 且2(α, +β)-(α, +β)=2(α, +α +β),求β解由2(α+β)-(α+β)=2(α+α+β),得2
2 , 1,2, , i i a b i n = = 就称这两个向量相等,记为α＝β. 定义 3 向量 (a1+b1,a2+b2,.,an+bn) 称为α与β的和,记为α＋β.称向量 (ka1,ka2,.,kan) 为 α 与 k 的数量乘积,简称数乘,记为 kα. 定义 4 分量全为零的向量 (0, 0, ., 0) 称为零向量,记为 0.α 与-1 的数乘 (-1)α＝(-a1,-a2,.,-an) 称为 α 的负向量,记为-α.向量的减法定义为 α－β＝α＋（－β）. 向量的加法与数乘具有下列性质： （１） α＋β＝β＋α；（交换律) （２） （α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律） （３） α＋0＝α； （４） α＋（－α）＝0； （５） k(α+β)=kα+kβ； （６） （k+l)α=kα+lα； （７） k(lα)=(kl)α； （８） １α＝α； （９） 0α＝0； （１０） k0＝0. 在数学中,满足(１) ～(８)的运算称为线性运算.我们还可以证明： （１１） 如果 k≠0 且 α≠0, 那么 kα≠0. 显然,n 维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作行矩阵时的相等 和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数 乘运算,这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有 性质(１)～(１１). 例 1 设 α1 = (1,1,0) ,α2 = (0,1,1) ,3 = (3,4,0) ,求 1 2 3 3 2 + − . 解 3 2 3 1,1,0 2 0,1,1 3,4,0 1 2 3 + − = + − ( ) ( ) ( ) = + − = (3,3,0 0,2,2 3,4,0 0,1,2 ) ( ) ( ) ( ) 例 2 设 1 = (1,1,1,1) , 2 (1,1, 1, 1) = − − , 3 (1, 1,1, 1) = − − , 4 (1, 1, 1,1) = − − 且 2 2 ( 1 2 3 4 + − + = + + ) ( ) ( ) ,求 . 解 由 2 2 ( 1 2 3 4 + − + = + + ) ( ) ( ) ,得
β= 2α, -αz -2α, -2α =(-3,5,3,3)通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行量组a1,α2，",a.可以排列成一个sXn分块矩阵[aazA=a,其中ai为由A的第i行形成的子块,a1,a2，,a.称为A的行向量组.n维列向量组βi,β2，",β可以排成一个nXs矩阵B=（β1,β2，",β）,其中β为B的第j列形成的子块，β1,β2，，β,称为B的烈向量组.这样，矩阵A就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.向量组之间的关系可用矩阵来研究：反过来，矩阵的问题也可用向量组来研究S2线性相关与线性无关定义5向量组a1,a2，",a.称为线性相关的，如果有不全为零的数ki,k2，",ks，使 - (3.3)反之，如果只有在ki=kz==k=0时(3.3)才成立，就称ai,a2，,α线性无关换言之，当a1,a2，,a.是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1Xs矩阵(ki,kz,",ks)使[a]a2=0.(k,k,,...,k)..[as]当at,a2，",aa为列向量组时，它们线性相关就是指有非零的sx1矩阵（kik2，,k）使[k]kz=0(a,a,..,a,)：[k,]显然，单个零向量构成的向量组是线性相关的例3判断向量组8, = (1,0,, 0),8, =(0, 1,..,0),.+.+..6,=(0,0,..,1)的线性相关性解对任意的常数ki,kz，",kn都有3
3 2 2 2 3,5,3,3 1 2 3 4 ( ) = − − − = − 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n 维行量组 α１,α２,.,αs 可以排列 成一个 s×n 分块矩阵 1 2 s = a a A a , 其中 αi 为由 A 的第 i 行形成的子块,α１,α２,.,αs 称为Ａ的行向量组.n 维列向量组 β１,β ２,.,βs 可以排成一个 n×s 矩阵Ｂ＝（β１,β２,.,βs）,其中 βj 为Ｂ的第 j 列形成的子块,β１,β ２,.,βs 称为 B 的列向量组.这样,矩阵 A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关 系.向量组之间的关系可用矩阵来研究；反过来,矩阵的问题也可用向量组来研究. §2 线性相关与线性无关 定义 5 向量组 α１,α２,.,αs 称为线性相关的,如果有不全为零的数 k１,k２,.,ks, 使 1 s i i i k = a =k１α１+k２α２+.+ksαs＝0. （3.3） 反之,如果只有在 k１= k２ = . =ks =0 时(3.3)才成立,就称 α１,α２,.,αs 线性无关. 换言之,当 α１,α２,.,αs 是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的 1×s 矩阵 (k１,k２,.,ks)使 1 2 1 2 ( , , , ) s s k k k = 0 a a a . 当α１,α２,.,αs为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵(k１,k２,.,ks)′ 使 1 2 1 2 ( , , , ) s s k k k = a a a 0 . 显然,单个零向量构成的向量组是线性相关的. 例 3 判断向量组 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), (0,0, ,1) n = = = 的线性相关性. 解 对任意的常数 k１,k２,.,kn 都有
k,e+k,e+..-+ke,=(k,k2,...,k,)所以ki81+k222+.**+knen=0当且仅当k=k2=**-=k=0因此&,&2，,n线性无关e,&2，,&n称为基本单位向量.例4判断向量组a=（1,1,1）,a=（0,2,5）,=（1,3,6)的线性相关性.解对任意的常数kl,kz，k都有k,a,+kzaz+ ksas=(k,+ka,ki+2k,+3ks,k,+5k,+6ks).所以kiai+k2a2+kas=0当且仅当k +k,=0,k+2k,+3k,=0k,+5k,+6k,=0由于k=1, k2=1,ks=-1满足上述的方程组，因此1α+1α+(-1)=αα2-α=0所以α1,α2,α线性相关，例5设向量组α1α2α线性无关，β=α+α2β2=α2+α，β=α+α1，试证向量组β1,β2，B也线性无关证对任意的常数都有kiβ+k2β2+ksβ=(ki+ks)αi+(ki+kz)α2+(k2+ks)αs设有ki,kz,ks使kiβ,+k2β2+ksβ=0由α1α2，α线性无关，故有[k +k, =0,k+k,=0,k +k,=0.由于满足此方程组的k,kz,ks的取值只有ki=k2=ks=0,所以β1，β2，β线性无关定义 6向量α称为向量组βi，β2，,β的一个线性组盒，或者说α可由向量组βiβ2，β线性表出（)，如果有常数k,kzk使α=kiβi+k2β2+..+kβr.此时，也记a=Ek,β.i=l4
4 k１ε1+k２ε2+.+knεn＝(k１,k２,.,kn). 所以 k１ε1+k２ε2+.+knεn =0 当且仅当 k1=k2=.=kn=0. 因此 ε1,ε2,.,εn 线性无关. ε1,ε2,.,εn 称为基本单位向量. 例 4 判断向量组 α１＝（１,１,１）,α２＝（０,２,５）,α3＝（１,３,６） 的线性相关性. 解 对任意的常数 k１,k２, k3 都有 k１α１+k２α２+ k3α3=(k１+k3,k１+2k２+3k3,k１+5k２+6k3). 所以 k１α１+k２α２+ k3α3=0 当且仅当 1 3 1 2 3 1 2 3 0, 2 3 0, 5 6 0. k k k k k k k k + = + + = + + = 由于 k1=1,k2=1,k3=-1 满足上述的方程组,因此 １α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0. 所以 α１,α２,α3 线性相关. 例 5 设向量组 α１,α２,α3 线性无关,β１＝α１+α２,β２＝α２+α3,β3＝α3+α１, 试证向量组 β １,β２,β3 也线性无关. 证 对任意的常数都有 k１β１+k２β２+k3β3=(k１+k3)α１＋（k１+k２)α２+(k２+k3)α3 . 设有 k１,k２,k3 使 k１β１+k２β２+k3β3=0. 由 α１,α２,α3 线性无关, 故有 1 3 1 2 2 3 0, 0, 0. k k k k k k + = + = + = 由于满足此方程组的 k１,k２,k3 的取值只有 k１=k２=k3=0, 所以 β１,β２,β3 线性无关. 定义 6 向量α称为向量组 β１,β２,.,βt 的一个线性组合,或者说 α 可由向量组 β １,β２,.,βt 线性表出(示),如果有常数 k１,k２,.,kt 使 α＝k１β１＋k２β２+.＋ktβt. 此时,也记 1 t i i i k = a =
例 6设 α,=(1,1, 1,1),αz=(1,1,-1,-1),α=(1,-1,1,-1),α=(1,-1,-1,1),β=(1,2,1,1).试问β能否由α1，αz，g，α线性表出？若能，写出具体表达式解令β=iαi+kzα2+ksαs+kα于是得线性方程组(k +k, +k +k =1k+k-k-k =2k -k, +k,-k =1[k-k-k +k=1因为11111-1 -1D=-16±0,-11--1-111由克莱姆法则求出51k.=k444所以5111β=α+α-a4-α4444即β能由α1,α2sα线性表出例7设α=(2,-3,0)，β=(0,-1,2)，Y(0,-7,-4)，试问能否由α,β线性表出?解设y=kia+k2β于是得方程组2k, =0-3k, -k, =-72k, =-4由第一个方程得k;=0，代入第二个方程得kz=7,但k2不满足第三个方程，故方程组无解所以y不能由α,β线性表出.定理1向量组a1,α2，,α（s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，证设a1,a2，,a.中有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设αi=k2α2+kgas+.**+k,α.那么-αi+k2α2+*+kα=0,所以a1,a2,"",a.线性相关.反过来，如果ai,a2"",a.线性相关，就有不全为零的数ki,k2,",ks,使αi+α2+...+kα=0不妨设k≠0，那么kzKkα=asα2akihk5
5 例 6 设 α１=(1,1,1,1),α２=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1), β=(1,2,1,1).试问 β 能否由 α１,α２,α3,α4 线性表出？若能,写出具体表达式. 解 令 β=k１α１+k２α２+k3α3+k4α4 于是得线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k + + + = + − − = − + − = − − + = 因为 1 1 1 1 1 1 1 1 16 0 1 1 1 1 1 1 1 1 D − − = = − − − − − , 由克莱姆法则求出 1 2 3 4 5 1 1 , , 4 4 4 k k k k = = = = − 所以 1 2 3 4 5 1 1 1 , 4 4 4 4 = + − − 即 β 能由 α１,α２,α3,α4 线性表出. 例 7 设 α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问 γ 能否由 α,β 线性表出? 解 设 γ=k１α+k２β 于是得方程组 1 1 2 2 2 0 3 7 2 4 k k k k = − − = − = − 由第一个方程得 k１=0,代入第二个方程得 k２=7,但 k２不满足第三个方程,故方程组无解. 所以 γ 不能由 α,β 线性表出. 定理 1 向量组 α１,α２,.,αs (s≥2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能 由其余向量线性表出. 证 设 α１,α２,.,αs 中有一个向量能由其余向量线性表出,不妨设 α１=k２α２+k3α3+.+ksαs, 那么 -α１+k２α２+.+ksαs=0, 所以 α１,α２,.,αs 线性相关.反过来,如果 α１,α２,.,αs 线性相关,就有不全为零的数 k１,k ２,.,ks, 使 k１α１＋k２α２＋.＋ksαs=0. 不妨设 k１≠０, 那么 2 3 1 2 3 1 1 1 . s s k k k k k k = − − − −