《线性代数》课程教学资源（习题解答）第七章 λ–矩阵

第七章^-矩阵S12-矩阵的概念前面我们介绍的矩阵，它的元素都是一个数，这种矩阵也可称作数字短阵，下面给出入-矩阵的定义，定义1设a,(a)(i=1,2,,m,j=1,2,",n)均为^的多项式，那么以a,(a)为元素的mXn矩阵[a(a) az() ** an(a)ai() a22() a2n()(7. 1)A(2)=：：Lam(a) am(a) . amm(a)称为人矩阵或多项式矩阵显然，数字矩阵是特殊的1矩阵。入矩阵的加法、数乘和乘法与数字矩阵的运算相同，并且具有相同的运算规律，这些不再重复叙述和证明.由于入矩阵的每一个元素都是入的多项式，所以任何入-矩阵（7.1）可以惟一地表成以数字矩阵为系数的入的多项式A(a)=A'+A-al-I +...+Aa+A其中A.A,A均为mXn数字矩阵例1设++1-+2A(2) =2元2元2-3元-1则A（）可以写成B la+[, a+[ 3][a+A(2)=02元[2 -3]+[0 -1]定义2如果^矩阵A（a）中有一个r（r≥1）阶子式不为零，而所有+1阶子式（假若有的话）全为零，则称A（a）的秩为r.零矩阵的秩规定为0.例如，数字矩阵A=（aij）nxn的特征矩阵^E-A的秩是n，因为^E-A≠0定义3对于n阶入矩阵A（），如果有一个n阶^矩阵B（a)，使得(7.2)A(^)B()=B(^)A(Λ)=En则称A(2)是可逆的，此时B(a)就称为A(2)的逆矩阵，记为A-(a)关于入矩阵可逆的条件有定理1n阶入矩阵A(2)可逆的充分必要条件为它的行列式A(^)I1

1 第七章 λ–矩阵 §1 λ-矩阵的概念 前面我们介绍的矩阵，它的元素都是一个数，这种矩阵也可称作数字矩阵，下面给出 λ- 矩阵的定义. 定义 1 设 ( )( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i m j n  = = 均为λ的多项式，那么以 ( ) ij a  为元素的 m×n 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m mn a a a a a a a a a               =         A (7.1) 称为λ矩阵或多项式矩阵. 显然，数字矩阵是特殊的λ矩阵. λ 矩阵的加法、数乘和乘法与数字矩阵的运算相同，并且具有相同的运算规律，这些不 再重复叙述和证明. 由于 λ 矩阵的每一个元素都是 λ 的多项式，所以任何 λ-矩阵（7.1)可以惟一地表成以数 字矩阵为系数的 λ 的多项式 1 1 1 0 ( ) l l     l l − A A A A A = + + + + − 其中 0 1 , , , A A Ai 均为 m×n 数字矩阵. 例 1 设 2 2 2 1 2 ( ) , 2 2 3 1           + + − + =     − − A 则 A（λ）可以写成 2 1 1 1 1 1 2 ( ) . 0 2 2 3 0 1          − = + +             − − A 定义 2 如果λ矩阵 A（λ）中有一个 r（r≥1）阶子式不为零，而所有 r+1 阶子式（假若 有的话）全为零，则称 A（λ）的秩为 r.零矩阵的秩规定为 0. 例如，数字矩阵 A=（aij）n×n 的特征矩阵λE-A 的秩是 n，因为|λE-A|≠0. 定义 3 对于 n 阶 λ 矩阵 A（λ），如果有一个 n 阶λ矩阵 B（λ），使得 A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=En, （7.2） 则称 A(λ)是可逆的，此时 B(λ)就称为 A(λ)的逆矩阵，记为 A −1 (λ). 关于 λ 矩阵可逆的条件有定理 1n 阶 λ 矩阵 A(λ)可逆的充分必要条件为它的行列式|A(λ)|

是一个非零的常数证明先证必要性.设A(a)可逆，则在（7.2）式两边取行列式得A() /·[B() =1因为A（）与B（）都是入的多项式，并且它们的乘积等于1，所以它们都是零次多项式，此即A（2）I是一个非零的数再证充分性.设d-A（a）|是一个非零常数，A*（a）是A（a）的伴随矩阵（这里，A（a）的伴随矩阵的定义与数字矩阵A的伴随矩阵的定义是类似的），它也是一个n阶^-矩阵有A(a)(A(a)-1A(a) A(2)=E,21故A（）可逆，且A-I（）=A(M)d例2矩阵1+3[α+1A(2) =+3+5+4元+11+3B(2)=+3元+2+5元+4中，A（Λ)是可逆的，但B（）不可逆.这是因为[A（^) /=4,|B（^)/=-2(^+1)s2入-矩阵的标准型定义4下列三种变换称为^-矩阵的初等变换(1)互换矩阵的第i行（列）和第j行（列），记为r(i,j)(c(i,j))：(2)用非零的数k乘矩阵的第i行（列)，记为r(i,k)(c(i(k))；(3)把矩阵中第j行（列）的（^)倍加到第i行（列）上，其中(Λ)是一个^的多项式，记为r(i+j())(c(i+i(p))由单位矩阵En经过一次上述初等变换得到的入矩阵称为初等矩阵与数字矩阵的讨论相类似，用E（ij）,E(i(k),E(i+j(Φ))分别表示由单位矩阵En互换ij两行（列)：第i行（列）乘以非零常数k：第j行（i列）的Φ（^)倍加到第i行列）上所得到的初等矩阵.我们有结论：（1）初等矩阵都是可逆的，并且E (ij) -l=E(ij),E(i(k)-l=E((k-")),E(i+j(Φ))-1=E(i+j(-Φ)(2）对一个^矩阵A（Λ）作一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的初等矩阵左（右）乘A（Λ）定义5如果^矩阵A（^）经过有限次初等变换而化为B（^)，则称A（^）与B（^）等价，记为A（Λ）兰B（M）定理2两个^矩阵A（^）与B（^）等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P（Λ）和2

2 是一个非零的常数. 证明 先证必要性.设 A(λ)可逆，则在（7.2）式两边取行列式得 |A（λ）|·|B（λ）|=1. 因为|A（λ）|与|B（λ）|都是 λ 的多项式，并且它们的乘积等于 1，所以它们都是零次多项 式，此即|A（λ）|是一个非零的数. 再证充分性.设 d=|A（λ）|是一个非零常数，A*（λ）是 A（λ）的伴随矩阵（这里，A（λ） 的伴随矩阵的定义与数字矩阵 A 的伴随矩阵的定义是类似的），它也是一个 n 阶 λ–矩阵， 有 1 1 * * ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 n d             = =     A A A A E 故 A（λ）可逆，且 A −1（λ）= 1 d A * (λ). 例 2 λ矩阵 2 2 2 2 1 3 ( ) , 3 5 4 1 3 ( ) , 3 2 5 4                 + + =     + + +   + + =     + + + + A B 中，A(λ)是可逆的，但 B（λ）不可逆.这是因为 |A（λ）|=4,|B（λ）|=-2(λ+1). §2 λ-矩阵的标准型 定义 4 下列三种变换称为λ-矩阵的初等变换： (1) 互换矩阵的第 i 行（列）和第 j 行（列）,记为 r i j c i j ( , , )( ( )) ； (2) 用非零的数 k 乘矩阵的第 i 行（列），记为 r i k c i k ( , )( ( ( ))) ； (3) 把矩阵中第 j 行（列）的φ(λ)倍加到第 i 行（列）上，其中φ(λ)是一个λ的多项 式，记为 r i j c i j ( + + (  ))( ( ( ))). 由单位矩阵 En 经过一次上述初等变换得到的λ矩阵称为初等矩阵. 与数字矩阵的讨论相类似，用 E（i,j）,E(i(k)),E(i+j(φ))分别表示由单位矩阵 En 互换 i,j 两行（列）；第 i 行（列）乘以非零常数 k；第 j 行（i 列）的φ(λ)倍加到第 i 行（j 列）上所 得到的初等矩阵.我们有结论： （1） 初等矩阵都是可逆的，并且 E（i,j）−1=E(i,j),E(i(k))−1=E(i(k −1 )),E(i+j(φ)) −1=E(i+j(-φ)). (2) 对一个λ矩阵 A（λ）作一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的初等矩阵左 （右）乘 A（λ）. 定义 5 如果λ矩阵 A（λ）经过有限次初等变换而化为 B（λ)，则称 A（λ）与 B（λ） 等价，记为 A（λ）  B（λ）. 定理 2 两个λ矩阵 A（λ）与 B（λ）等价的充分必要条件是存在可逆矩阵 P（λ）和

Q（),使得B（A)=P（Λ)A（M)O（Λ)证明由定义5及（B）知,A（Λ）与B（Λ）等价的充分必要条件是存在一系列初等矩阵Pi，P2，，P,与Q，Q2，，Q，使得B(A) =P,P2-PIA () Q1Q2"-O令（a）=PP2PI，Q（）=QQ2Q，因为初等矩阵都是可逆的，它们的乘积还是可逆的，所以P（Λ）和O（Λ）均为可逆的，故定理得证由（A），（B），容易证明，Λ矩阵的等价关系具有下列性质：(1）自反性每一个1矩阵与自己等价.(2)对称性若A（Λ）=B（^），则B（^）三A（Λ），(3)传递性若A（）=B（Λ），且B（Λ）=C（^)，则A（Λ）=C（Λ）人矩阵具有多种形式的标准型，在这里我们只介绍其中最基本的一种，即施密斯标准型为此先证明一个引理，引理若矩阵A（^）=（ai（)）mx的左上角元素al（）≠0，并且A（）中至少有一个元素不能被α1（1）整除，则必存在一个与A（Λ）等价的矩阵B（1），它的左上角元素bn（^）也不为零，且bin（α）的次数小于an（^）的次数证明根据A（）中不能被a（）整除的元素所处位置，分三种情况讨论（1）若A()的第一列有一个元素ai()不能被au（）整除，则用an（α）去除a（）可得an（）=q（）an（）+r（），这里（）（o)的次数小于a（α）的次数.此时[a.(a)..r(2)-1(g(2)A(2)-= B(2)r(a)au(a)上面右端矩阵B（1）即为所求(2）若A(Λ)的第一行有一个元素a(Λ)不能被an()整除，则这种情况的证法与情况（1）类似（3）若A(Λ)中第一行与第一列的元素都能被al（)整除，但A(^)中另有元素a()(i>1,>1)不能被an()整除.此时可设an()au()Φ()，则有[a(a)....a,(a)A(2)i-()0a,(a)-ay(2)p(2):.[a(a).. ag(a)+a,(a)(-()..+:(0]= M(2)0a,(a)-a,()p(2).上面右端矩阵M()中第一行有一个元素ai(^)+ai()(1-()F^)不能被a(4)整除，这就化到了已经证明的情况（2）定理3任一非零的mXn的Λ-矩阵A(Λ)都等价于一个如下形式的矩阵：3

3 Q（λ），使得 B（λ）=P（λ）A（λ）Q（λ）. 证明 由定义 5 及（B）知,A（λ）与 B（λ）等价的充分必要条件是存在一系列初等矩 阵 P1，P2，.，Ps 与 Q1，Q2，.，Qt，使得 B（λ）=PsP2.P1A（λ）Q1Q2.Qt 令 P（λ）= PsP2.P1，Q（λ）= Q1Q2.Qt，因为初等矩阵都是可逆的，它们的乘积还 是可逆的，所以 P（λ）和 Q（λ）均为可逆的，故定理得证. 由（A），（B），容易证明，λ矩阵的等价关系具有下列性质： (1) 自反性每一个λ矩阵与自己等价. (2) 对称性若 A（λ）  B（λ），则 B（λ）  A（λ）. (3) 传递性若 A（λ）  B（λ），且 B（λ）  C（λ），则 A（λ）  C（λ）. λ矩阵具有多种形式的标准型，在这里我们只介绍其中最基本的一种，即施密斯标准型. 为此先证明一个引理. 引理 若λ矩阵 A（λ）=（aij(λ)）m×n 的左上角元素 a11（λ）≠0，并且 A（λ）中至 少有一个元素不能被 a11（λ）整除，则必存在一个与 A（λ）等价的矩阵 B（λ），它的左上 角元素 b11（λ）也不为零，且 b11（λ）的次数小于 a11（λ）的次数. 证明 根据 A（λ）中不能被 a11（λ）整除的元素所处位置，分三种情况讨论. （1） 若 A(λ)的第一列有一个元素 ai1(λ)不能被 a11（λ）整除，则用 a11（λ）去除 ai1（λ）可得 ai1（λ）=q（λ）a11（λ）+r（λ），这里 r（λ）(≠0)的次数小于 a11（λ） 的次数.此时   11 1( ( )) (1, ) 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r i q r i a r r a        −         ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ =                 A B 上面右端矩阵 B（λ）即为所求. （2） 若 A(λ)的第一行有一个元素 a1j(λ)不能被 a11(λ)整除，则这种情况的证法与情 况（1）类似. （3） 若 A(λ)中第一行与第一列的元素都能被 a11 (λ)整除，但 A(λ)中另有元素 aij(λ)(i>1,j>1)不能被 a11 (λ)整除.此时可设 ai1 (λ)= a11 (λ)φ(λ)，则有   ( ) 11 1 1( ) 1 11 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 ( )) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) j r i ij j ij j r i ij j a a a a a a a a a                   −   +       ⎯⎯⎯⎯→    −       + −   ⎯⎯⎯⎯→ =     −     A M 上面右端矩阵 M(λ)中第一行有一个元素 aij(λ)+a1j(λ)(1-φ(λ))=f(λ)不能被 a11(λ)整 除，这就化到了已经证明的情况（2）. 定理 3 任一非零的 m×n 的λ-矩阵 A(λ)都等价于一个如下形式的矩阵：

[d,(a)d,(a)J(a)=d,(a)(7.3)00其中r≥1,d(^)(i=1,2,"r)均为首项系数为1的多项式，且d(a)d(a), i=1,2,...,r-1.证明不妨设a1(^)0，否则总可以经过适当的行、列交换，使得A(Λ)的左上角元素不为零.如果ai()不能整除A(^)的所有元素，由引理，可以找到与A()等价的矩阵Bi(Λ),它的左上角元素bi(^)≠0，且bi(Λ)的次数小于au(^)的次数.如果bi(^)还不能整除B(^)的所有元素，再由引理，可以找到与Bi（Λ)等价的矩阵B2(），它的左上角元素b2(Λ)≠0且b2()的次数小于bi(Λ)的次数.如此作下去，将会得到一系列彼此等价的Λ-矩阵A().B(),B()...这些矩阵的左上角元素均不为零，而且次数越来越低由于非零多项式的次数总是非负整数，因此在有限步后，必将得到一个^矩阵B（Λ），它的左上角元素b（1)≠0，且bs（Λ)能整除B（)的所有元素.可设bi(^)=bs（)qi(^)，此时，对B()作一些适当的初等变换，可使得除左上角元素外它的第一行与第一列的其他元素全为零，即07[b,(a) 00B,(a)=:A(a)0显然，A1(Λ)的元素都是B(1)中元素的组合，而bs(Λ)能整除Bs(1)的所有元素，所以bs（M)也能整除A1（1)的所有元素如果A（Λ)0，则对于A1（1)重复上述过程，进而可把矩阵化为007[d,(a)..00d,(a)...:：A(a)00其中di(),dz（)都是首项系数为1的多项式，且di()dz（)(因di（)bs（)能整除A（)的所有元素），d（^)能整除A2（^）的所有元素如此一直做下去，最后终将A（^）化为所要求的形式（7.3）式中的J（^）称为A（1）的施密斯标准型例3求入-矩阵[-1+121-1元1221-元A(2)=2+1+-14

4 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 r m n d d d          =   J (7.3) 其中 r≥1,di(λ)(i=1,2,.,r)均为首项系数为 1 的多项式，且 1 ( ) ( ); 1,2, , 1. i i d d i r   + = − 证明 不妨设 a11(λ)≠0，否则总可以经过适当的行、列交换，使得 A(λ)的左上角元素 不为零.如果a11(λ)不能整除A(λ)的所有元素，由引理，可以找到与A(λ)等价的矩阵B1(λ)， 它的左上角元素 b1(λ)≠0，且 b1(λ)的次数小于 a11(λ)的次数.如果 b1(λ)还不能整除 B1(λ) 的所有元素，再由引理，可以找到与 B1(λ)等价的矩阵 B2(λ)，它的左上角元素 b2(λ)≠0， 且 b2(λ)的次数小于 b1(λ)的次数.如此作下去，将会得到一系列彼此等价的λ-矩阵 A(λ),B1(λ),B2(λ),. 这些矩阵的左上角元素均不为零，而且次数越来越低.由于非零多项式的次数总是非负整 数，因此在有限步后，必将得到一个λ矩阵 Bs(λ)，它的左上角元素 bs(λ)≠0，且 bs (λ)能 整除 Bs (λ)的所有元素.可设 bij(λ)= bs (λ)qij(λ)，此时，对 Bs (λ)作一些适当的初等变换， 可使得除左上角元素外它的第一行与第一列的其他元素全为零，即 1 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 s i b                 B A 显然，A1(λ)的元素都是 Bs(λ)中元素的组合，而 bs (λ)能整除 Bs (λ)的所有元素，所以 bs (λ)也能整除 A1 (λ)的所有元素. 如果 A1 (λ)≠0，则对于 A1 (λ)重复上述过程，进而可把矩阵化为 1 2 1 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 d d                A 其中 d1(λ), d2 (λ)都是首项系数为 1 的多项式，且 d1 (λ)| d2 (λ)(因 d1 (λ)= bs (λ)能整 除 A1 (λ)的所有元素)，d2 (λ)能整除 A2 (λ)的所有元素. 如此一直做下去，最后终将 A（λ）化为所要求的形式. （7.3）式中的 J（λ）称为 A（λ）的施密斯标准型. 例 3 求λ-矩阵 2 2 2 2 1 2 1 ( ) 1 1              − + −   = −       + + − − A

的施密斯标准型解对A()作初等变换：1元[122元-12元-13-1(0)A(2)c(+3(0)222-元0-元→0[12+-1 -][0?-元-2-0[10[101元c(2-1(22-1)r(2-3(0)2222-元0元0c(31(2)r(3(1)[o 22-元2-元L0+元+]/10000(3+2(α-1)r(3-2(2)0元元2200lo0-+元+]0+元上式最后一个矩阵就是所求的施密斯标准型s3^-矩阵的不变因子定义6设^矩阵A(Λ)的秩为r≥1,k是不大于r的正整数，那么A(^)中所有k阶子式的首项系数为1的最太公因式DC）称为A(）的k阶行列式因子由定义6知，一个秩为r（≥1）的^矩阵有且仅有r个行列式因子.关于行列式因子有下面重要结论，定理4等价的^矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子证明我们只需证明，经过一次初等变换后^矩阵的秩和行列式因子是不变的设^矩阵A()经过一次初等行变换变成B（)，)与g(4)分别是A()与B（Λ)的k阶行列式因子.下面分三种情况证明八)=g(Λ)（1）A()—(）B（）这时B（）的任一阶子式或者等于A()的某一个k阶子式，或者与A()的某一个k阶子式反号，因此Λ)是g()的因式，即1)Ig(4).(2）A()—()B（）(c0),这时B（）的任一k阶子式或者等于A()的某一个k阶子式,或者等于A()的某一个k阶子式的c倍,因此)是g()的因式,即^)Ig()(3）A（)—(）B（）.这时B（）中那些包含i行与j行的k阶子式和不包含i行的k阶子式都等于A（Λ)中对应的k阶子式，而B（）中那些包含i行但不包含行的k阶子式，恰好等于A（Λ)中对应的k阶子式与另一个k阶子式的(Λ)倍之和，因此《)是g(1)的因式，即)Ig(1)对于列变换可以完全一样地讨论.于是经过一次初等变换将A（Λ）变成B（^），总有Λ)IgΛ).由于初等变换具有可逆性，所以B（^）也可以经过一次初等变换变成A(Λ)，同样也有g())，故)g()根据上述讨论和秩的定义可知，A（)与B（^）既有相同的各阶行列式因子，又有相同的秩设A(^)的Smith标准型为(7.3),则A(^)=J（Λ）.由定理4得A(^)的各阶行列式因子为5

5 的施密斯标准型. 解 对 A(λ)作初等变换： ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) 1 3 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 2 2 3 2( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 ( ) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 c r c r c r r                                      + − − − − − − −     − − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→     − −     + − − − − −     ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→     −     − − − − + + ⎯⎯⎯⎯→ − + A (3 2( 1)) 3 3 1 0 0 0 0 0 0 r      + −         ⎯⎯⎯⎯→     + + 上式最后一个矩阵就是所求的施密斯标准型. §3 λ-矩阵的不变因子 定义 6 设λ矩阵 A(λ)的秩为 r≥1,k 是不大于 r 的正整数，那么 A(λ)中所有 k 阶子式 的首项系数为 1 的最大公因式 Dk(λ)称为 A(λ)的 k 阶行列式因子. 由定义 6 知，一个秩为 r（≥1）的λ矩阵有且仅有 r 个行列式因子.关于行列式因子有下 面重要结论. 定理 4 等价的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子. 证明 我们只需证明，经过一次初等变换后λ矩阵的秩和行列式因子是不变的. 设λ矩阵 A(λ)经过一次初等行变换变成 B（λ），f(λ)与 g(λ)分别是 A(λ)与 B（λ） 的 k 阶行列式因子.下面分三种情况证明 f(λ)=g(λ). （1） A(λ) ⎯⎯⎯→ r i j ( , ) B（λ）.这时 B（λ）的任一 k 阶子式或者等于 A(λ)的某一个 k 阶子式，或者与 A(λ)的某一个 k 阶子式反号，因此 f(λ)是 g(λ)的因式，即 f(λ)|g(λ). （2） A(λ) ⎯⎯⎯→ r i c ( ( )) B（λ）(c≠0).这时 B（λ）的任一 k 阶子式或者等于 A(λ)的某 一个k阶子式,或者等于A(λ)的某一个k阶子式的c倍，因此f(λ)是g(λ)的因式，即f(λ)|g(λ). （3） A(λ) ⎯⎯⎯⎯→ r i j ( + ( )  ) B（λ）.这时 B（λ）中那些包含 i 行与 j 行的 k 阶子式和不包 含 i 行的 k 阶子式都等于 A(λ)中对应的 k 阶子式，而 B（λ）中那些包含 i 行但不包含 j 行 的 k 阶子式，恰好等于 A(λ)中对应的 k 阶子式与另一个 k 阶子式的φ(λ)倍之和，因此 f(λ) 是 g(λ)的因式，即 f(λ)|g(λ). 对于列变换可以完全一样地讨论.于是经过一次初等变换将 A(λ)变成 B（λ），总有 f(λ)|g(λ).由于初等变换具有可逆性，所以 B（λ）也可以经过一次初等变换变成 A(λ)，同 样也有 g(λ)|f(λ)，故 f(λ)=g(λ). 根据上述讨论和秩的定义可知，A(λ)与 B（λ）既有相同的各阶行列式因子，又有相同 的秩. 设 A(λ)的 Smith 标准型为(7.3),则 A(λ)  J（λ）.由定理 4 得 A(λ)的各阶行列式因子 为