*第六章线性空间与线性变换在第三章中，我们把n元有序数组叫做n维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向量空间的概念.在这里，我们把这些概念推广，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化s1线性空间的定义与性质定义1设V是一个非空集合，R为实数域，如果对于任意两个元素α,βEV，总有惟一的一个元素EV与之对应，称为α与β的和，记作=α+β；对于任一数kER与任一元素αEV，总有惟一的一个元素V与之对应，称为k与α的积，记为=kα；并且这两种运算满足以下八条运算规律(对任意α,β,EVk,ER)：(1)α+β=β+α;(2) (α+β)+=α+(β+);(3）在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何αEV，都有α+0=α；(4)对任何αEV，都有V中的元素β，使α+β=0(β称为α的负元素)；(5) 1α=α;(6)k(α)= (k) α;(7)(k+a)α=kα+Aα;(8)k(α+β)=kα+kβ那么，V就称为R上的向量空间（或线性空间），V中的元素称为（实）向量（上面的实数域R也可为一般数域)简言之，凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算：凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线性空间)注意：向量不一定是有序数组；向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭：向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算例1实数域R上次数不超过n的多项式的全体，我们记作P［x］n，即P[x]n=(anxn+.*+aix+ao|an,an-1,"",a1,aER)对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量空间例2实数域R上n次多项式的全体，记作W，即W=(anxn+an-iXn-1+...+aix+aeIan,an-1,..",a1,aeER,且an+0)W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R上的向量空间1
1 *第六章 线性空间与线性变换 在第三章中，我们把 n 元有序数组叫做 n 维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向 量空间的概念.在这里，我们把这些概念推广，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化. §１ 线性空间的定义与性质 定义 1 设 V 是一个非空集合，R 为实数域，如果对于任意两个元素 , ∈V，总有惟 一的一个元素 ∈V 与之对应，称为 与 的和，记作 = + ；对于任一数 k∈R 与任一 元素 ∈V，总有惟一的一个元素 ∈V 与之对应，称为 k 与 的积，记为 ＝k ；并且这 两种运算满足以下八条运算规律(对任意 , , ∈V;k, ∈R)： (1) + = + ; (2) ( ) ( ) + + = + + ； (3) 在 V 中有一个元素 0(叫做零元素)，使对任何 ∈V，都有 +0＝ ； (4) 对任何 ∈V，都有 V 中的元素 ，使 + =0( 称为 的负元素)； (5) 1 ＝ ； (6) k( )＝（k ） ； (7) (k+ ) ＝k ＋ ； (8) k( + )＝k +k . 那么，V 就称为 R 上的向量空间(或线性空间)，V 中的元素称为(实)向量(上面的实数域 R 也可为一般数域). 简言之，凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算 的集合称为向量空间(或线性空间). 注意：向量不一定是有序数组； 向量空间 V 对加法与数量乘法(数乘)封闭； 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算. 例 1 实数域 R 上次数不超过 n 的多项式的全体，我们记作 P［x］n，即 P［x］n＝｛anxn+.+a1x ０＋a0｜an,an-1,.，a１，a０∈R｝. 对于通常的多项式加法、多项式数乘构成 R 上的向量空间. 例 2 实数域 R 上 n 次多项式的全体，记作 W，即 W＝｛anxn+an-1xn-1+.+a1x+a０｜an,an-1，.，a１，a０∈R，且 an≠0｝. W 对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成 R 上的向量空间
因为O(anxn+an-1Xn-1+.+aix+十a）=0W，即W对数乘不封闭例3全体实函数，按函数的加法、数与函数的乘法，构成R上的线性空间例4n个有序实数组成的数组的全体S"- (x-(X1, X2, , Xn) I x1, X2,**, XER)对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k· (x1,x2,",x)=(0,0,",0)不构成R上的向量空间，因为1x=0，不满足运算规律(5)注（1）在例4中，S"对所定义的加法与数乘运算是封闭的.但不满足运算定律（5），这说明，验证一个集合是否构成线性空间，不能只验证集合对所定义的加法与数乘运算是否封闭一般来说，若集合中定义的加法与数乘运算不是通常的实数间的加法与数乘运算时，除了验证这两种运算的封闭性外，还应仔细检验是否满足8条线性运算规律（2）比较例4中的S"与R"，作为集合，它们是一样的，但由于在其中所定义的运算不同，以至R”构造向量空间而S”则不是向量空间.由此可见，线性空间集合与运算二者的结合一般来说，同一集合，若定义两种不同的线性运算，则构成不同的线性空间，若定义的运算不是线性运算，则不构成线性空间，因此，线性空间中所定义的线性运算是本质的，而其中的向量具体是什么并不重要.例5正实数的全体，记作R*，定义加法、数乘运算为a@b=ab(a,bER),k·a=a（kER,aER+).验证R+对上述加法与数乘运算构成R上的线性空间证实际上要验证十条对加法封闭：对任意a,bER，有a?b=abER；对数乘封闭：对任意kER,aER，有k·a=dER：(1)a@b=ab=ba=ba,(2)(a甲b)甲c=(ab) 甲c=(ab)c=a(bc)=a甲 (b甲c);(3)R+中的元素1满足：α④1=a·1=α(1叫做R的零元素）：(4）对任何aER，有a?a-=a=1（a叫做a的负元素）；(5)1 ·a=a=a,(6)k.(入·a)=k-(a")k=a = (ka)·a;(7)(k+^)·α=a(+2)=a'a= α*@α"=k·a甲入·a;(8)k· (a@b)=k·(ab)-(ab)=ab*=d*@b=k·a@k·b.因此，R对于上面定义的运算构成R上的线性空间下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质性质1零元素是惟一的假设01，02是线性空间V中的两个零元素，即对任何αEV，有α+0=α，α+02=α，于是特别有02+01=02,01+02=01,故0,=0;+02=02+0,=02性质2任一元素的负元素是惟一的(α的负元素记作-α）假设α有两个负元素β与，即α+β=0，α+=0.于是2
2 因为 0(anxn+an-1xn-1+.+a１x ０＋a０)＝0 W，即 W 对数乘不封闭. 例 3 全体实函数，按函数的加法、数与函数的乘法，构成 R 上的线性空间. 例 4 n 个有序实数组成的数组的全体 S n =｛x=(x1，x2，.，xn)｜x1，x2，.，xn∈R｝ 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 k·(x1，x2，.，xn)＝(0,0,.,0) 不构成 R 上的向量空间，因为 1x=0，不满足运算规律(5). 注 （1）在例 4 中， n S 对所定义的加法与数乘运算是封闭的.但不满足运算定律（5）. 这说明，验证一个集合是否构成线性空间，不能只验证集合对所定义的加法与数乘运算 是否封闭.一般来说，若集合中定义的加法与数乘运算不是通常的实数间的加法与数乘运算时， 除了验证这两种运算的封闭性外，还应仔细检验是否满足 8 条线性运算规律. （2）比较例 4 中的 n S 与 n R ，作为集合，它们是一样的，但由于在其中所定义的运 算不同，以至 n R 构造向量空间而 n S 则不是向量空间.由此可见，线性空间集合与运算二者的 结合.一般来说，同一集合，若定义两种不同的线性运算，则构成不同的线性空间，若定义的 运算不是线性运算，则不构成线性空间，因此，线性空间中所定义的线性运算是本质的，而 其中的向量具体是什么并不重要. 例 5 正实数的全体，记作 R ＋，定义加法、数乘运算为 a b=ab(a,b∈R ＋ )，k·a=a k（k∈R,a∈R+）. 验证 R+对上述加法与数乘运算构成 R 上的线性空间. 证 实际上要验证十条. 对加法封闭：对任意 a,b∈R ＋，有 a b＝ab∈R ＋； 对数乘封闭：对任意 k∈R,a∈R ＋，有 k·a＝a k∈R ＋； (1) a b=ab=ba=b a; (2) (a b) c＝(ab) c＝(ab)c＝a(bc)＝a (b c)； (3) R ＋中的元素 1 满足：a 1＝a·1＝a(1 叫做 R ＋的零元素)； (4) 对任何 a∈R ＋，有 a a －１＝a －１＝１（a －1 叫做 a 的负元素）； (5) 1·a＝a 1＝a; (6) k·(λ·a)＝k·( a )k＝ k a ＝（ k ）·a； (7) (k+λ)·a= ( ) k a + ＝ k a a = k a a =k·a λ·a； (8) k·(a b)=k·(ab)=(ab) k =a k b k =a k b k =k·a k·b. 因此，R ＋对于上面定义的运算构成 R 上的线性空间. 下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质. 性质 1 零元素是惟一的. 假设 01，02 是线性空间 V 中的两个零元素，即对任何 ∈V，有 +01= , +02＝ ， 于是特别有 02+01=02,01+02=01, 故 01=01+02=02+01=02. 性质 2 任一元素的负元素是惟一的( 的负元素记作- ). 假设 有两个负元素 与 ，即 + ＝0， + ＝0.于是
β=β+0=β+(α+)=(β+α)+=0+=性质30α=0:（-1）α=-α：k0=0.因为α+0α=1α+0α=（1+0)α=1α=α,所以0α=0+0α=α+α）+0α=-α+(α+0)=-α十α=0又因为α+（-1)α=1α+（-1）α=[1+(1)］α=0α=0,所以(-1)α=0+(-1)α=（-α+α）+-1)α-α+[α+(-1)α]=-α+0=-α;而k0=k[α+(-1)α］=kα+(-k)α=[+(-k)]α=0α=0性质4如果kα=0，那么k=0或者α=0.假设k≠0，那么11二0=0α=1α=(.k)α=-(kα)=KkT在第三章子空间的概念可推广到一般线性空间中定义2R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间（简称子空间）一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?因为W是V的一部分，V中运算对W而言，规律(1)，(2)，(5)，(6)，(7)，(8)显然被满足，因此只要W对运算封闭且满足规律(3)4)即可，但由线性空间的性质3知，若W对运算封闭，则能满足规律(3)(4)，因此有定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭例6在全体实函数组成的线性空间中，所有实系数多项式组成V的一个子空间s2维数、基与坐标在第三章，我们讨论了n维数组向量之间的关系，介绍了一些重要概念，如线性组合、线性相关与线性无关等，这些概念及有关性质只涉及线性运算，因此，对于一般的线性空间中的元素（向量）仍然适用，以后我们将直接引用这些概念和性质.基与维数的概念同样适用于一般的线性空间.定义3在线性空间V中，如果存在n个元素α1,α2",αn，满足：(1)α1,α2,,α线性无关(2)V中任一元素α都可由α1α2,",αn线性表示，记为dimV=n那么，α1,α2,α就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数维数为n的线性空间称为n.维线性空间，记作Vn.如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的若知α1,α2,",α为V,的一个基，则对任何αEVn，都有一组有序数x1,x2,,x使α=xαi+xα2+.-+Xαn并且这组数是惟一的(否则α1,α2,,αn线性相关).反之，任给一组有序数x1，x2，xn，可惟一确定V中元素α=xαi+X2α2+..+Xαn这样，V，的元素与有序数组(x1,x2,",)之间存在着一种一一对应，因此可用这组有序数来表示α，于是我们有3
3 = + = + + = + + = + = 0 0 ( ) ( ) . 性质 3 0 ＝0；（－1） ＝－ ；k0＝0. 因为 ＋0 ＝1 ＋0 ＝（1+0） ＝1 ＝ ， 所以 0 ＝0+0 ＝（－ ＋ ）＋0 ＝－ +( ＋0)＝－ ＋ ＝0 又因为 ＋（－1） ＝1 +（－1） =［1+(－1)］ ＝0 ＝0， 所以 (－1) =0＋（－1） ＝（－ ＋ ）＋（－1） ＝－ ＋［ ＋（－1） ］＝－ ＋0＝－ ; 而 k0=k［ ＋（－1） ］＝k ＋（－k） ＝［k+(-k)］ ＝0 ＝0. 性质 4 如果 k ＝0，那么 k＝0 或者 ＝0. 假设 k≠0，那么 ＝1 ＝( 1 k ·k) = 1 k (k )＝ 1 k 0＝0. 在第三章子空间的概念可推广到一般线性空间中. 定义 2 R 上线性空间 V 的一个非空子集合 W 如果对于 V 的两种运算也构成数域 R 上 的线性空间，称 W 为 V 的线性子空间(简称子空间). 一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?因为 W 是 V 的一部分，V 中运算对 W 而 言，规律(1)，(2)，(5)，(6)，(7)，(8)显然被满足，因此只要 W 对运算封闭且满足规律(3)(4)即 可，但由线性空间的性质 3 知，若 W 对运算封闭，则能满足规律(3)(4)，因此有 定理 1 线性空间 V 的非空子集 W 构成 V 的子空间的充分 必要条件是 W 对于 V 中的两种运算封闭. 例 6 在全体实函数组成的线性空间中，所有实系数多项式组成 V 的一个子空间. §2 维数、基与坐标 在第三章，我们讨论了 n 维数组向量之间的关系，介绍了一些重要概念，如线性组合、 线性相关与线性无关等，这些概念及有关性质只涉及线性运算，因此，对于一般的线性空间 中的元素(向量)仍然适用，以后我们将直接引用这些概念和性质.基与维数的概念同样适用于 一般的线性空间. 定义 3 在线性空间 V 中，如果存在 n 个元素 1, 2,., n，满足： (1) 1, 2,., n 线性无关. (2) V 中任一元素 都可由 1, 2,., n 线性表示，记为 dimV n = . 那么， 1, 2,., n 就称为线性空间 V 的一个基，n 称为线性空间 V 的维数. 维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空间，记作 Vn. 如果在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么 V 就称为无限维的. 若知 1, 2,., n 为 Vn 的一个基，则对任何 ∈Vn，都有一组有序数 x1, x2,., xn 使 =x1 1+ x2 2+.+ xn n， 并且这组数是惟一的(否则 1, 2,., n 线性相关). 反之，任给一组有序数 x1, x2,., xn，可惟一确定 Vn 中元素 =x1 1+ x2 2+.+ xn n. 这样，Vn 的元素与有序数组(x1, x2,., xn)之间存在着一种一一对应，因此可用这组有序数 来表示 ，于是我们有
定义4设α1,α2"αn是线性空间V的一个基，对于任一元素αEVn，有且仅有一组有序数x1,X2,",xn使α=xiαI+ x2α 2++ Xnαn,x1,x2",这组有序数就称为α在基α1,α2"αn下的坐标，记作(xi, X2,"", Xn)例7在线性空间[x］3中，αi=1，α2=x，α3=x，α4=x就是P[x]】3的一个基，P［x]3的维数是4，P［]3中的任一多项式J(x)=a3r:+a2x2+a1x+ao可写成(x)=α4+αaα2+a1,因此f(x)在基αtα2，α3，α4下的坐标为(ao，at,a2，a3)易见β1=1，β2=1+x,β3=2x，β4=x也是P[x]3的一个基，而(x)=(aoa)βi+a β2+β2+asβ4,a2,3)因此f(x)在基β1，β2，β3，β4下的坐标为(ao-al，al,2取定V,的一个基αt,α2,"αn，设α,βVnα=α1+xα2+.+αnβ=yai+ya2+..+yan于是α+β=(xi+y)α1+(x2+y)α2+..+(xn+yn)αnkaα=(kx) αi+(kx2)α2+...+(kxn)αn.即α+β的坐标是(x+yl，x2+y2，"，xn+yn)=（x1，x2，"，）+(y1，J2，，Jn)，kα的坐标是(kx1,kx2,**,kxn)=k(x1,x2,"",xn)总之，在线性空间V,中取定一个基α1,α2",αn，则V,中的向量α与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,，xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设α (x1, x2,"", xn),β台 (y1,y2,*,yn),则(1) α+β (x1, x2, ", xn)+(y1, y2, ", yn);(2)kaα k(x1, x2, "", xn).由上面所述，我们可以说V.与R"有相同的结构，称V，与R"同构一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构易见，同构关系具有传递性，我们有定理2R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，V，中的线性运算就可转化为R”中的线性运算，并且R"中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但R"中超出线性运算的性质，在Vn4
4 定义 4 设 1, 2,., n 是线性空间 Vn 的一个基，对于任一元素 ∈Vn，有且仅有一 组有序数 x1, x2,., xn 使 =x1 1+ x2 2+.+ xn n， x1, x2,., xn 这组有序数就称为 在基 1, 2,., n 下的坐标，记作 (x1, x2,., xn). 例 7 在线性空间 P［x］3 中， 1＝1， 2＝x， 3＝x2， 4＝x3 就是 P［x］3 的一个 基，P［x］3 的维数是 4，P［x］3 中的任一多项式 f(x)＝a3x 3+a2x 2＋a1x＋a0 可写成 f(x)=a3 4＋a2 3＋a1 2＋a0 1， 因此 f(x)在基 1， 2， 3， 4 下的坐标为(a0，a1，a2，a3). 易见 1＝1， 2＝1＋x; 3＝2x 2， 4＝x 3 也是 P［x］3 的一个基，而 f(x)=(a0－a1) 1＋a1 2＋ 2 2 a 2＋a3 4， 因此 f(x)在基 1， 2， 3， 4 下的坐标为(a0－a1，a1， 2 2 a ，a3). 取定 Vn 的一个基 1, 2,., n，设 , ∈Vn， ＝x1 1＋x2 2＋.＋xn n， ＝y1 1＋y2 2＋.＋yn n, 于是 + =（x1＋y1） 1＋(x2＋y2) 2＋.＋(xn+yn) n， k ＝(kx1) 1＋(kx2) 2＋.＋(kxn) n. 即 + 的坐标是 (x1＋y1，x2＋y2，.，xn+yn)＝（x1，x2，.，xn）+(y1，y2，.，yn)，k 的坐标是 (kx1，kx2，.，kxn)＝k(x1，x2，.，xn). 总之，在线性空间 Vn 中取定一个基 1, 2,., n，则 Vn 中的向量 与 n 维数组向量空 间 Rn 中的向量(x1, x2,., xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对 应，即 设 (x1, x2,., xn), (y1，y2，.，yn).则 (1) + (x1，x2，.，xn)+( y1，y2，.，yn)； (2) k k(x1，x2，.，xn). 由上面所述，我们可以说 Vn 与 R n 有相同的结构，称Ｖn 与 R n 同构. 一般地，设 V 与 U 是 R 上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系， 且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 V 与 U 同构. 易见，同构关系具有传递性，我们有 定理 2 R 上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等. 同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，Vn 中的线性运算就可转化为 R n 中的线性 运算，并且 R n 中凡只涉及线性运算的性质都适用于 Vn，但 R n 中超出线性运算的性质，在 Vn
中就不一定具备，如内积S3基变换与坐标变换事实上，n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以取做空间的基，由例7可见，同一元素在不同的基下有不同的坐标，那么，不同基与不同的坐标之间有怎样的关系呢？设α1,α2",αn及β1，β2,"，β是线性空间Vn的两个基，且β,=Cia, +C2ia,+.+Can,β,=Ci2a,+C2α,+...+Cn2an(6.1)β,=Cina,+C2na,+...+Cman(6-1）式可表为[c2CC21C22.Can(B,β,",β,)=(α,α2,"",α)：:(6.2)LCnCn2.Cm]=(αj,a2,.,α,)C.(6-1)和(6-2)称为基变换公式，矩阵C称为由基α1,α2,",α,到基β1,β2,"，βn的过渡矩短阵，由于β，β，，β,线性无关，故C一定是可逆矩阵定理3设V中的元素α在基α1α2",α下的坐标为(x1，x2，**，），在基β,β2,"，β，下的坐标为(x,",x），若两个基满足(6-2)，则有坐标变换公式[X[x]XxxxX2X2或=C7(6-3)....+*[xxLxn.x证因X[x2α=(β,β..β.)(α,α,.,aα.)...[xx.xx2=(α,α,,,α)c[X]5
5 中就不一定具备，如内积. §3 基变换与坐标变换 事实上，n 维线性空间中，任意 n 个线性无关的向量都可以取做空间的基，由例 7 可见， 同一元素在不同的基下有不同的坐标，那么，不同基与不同的坐标之间有怎样的关系呢? 设 1, 2,., n 及 1, 2,., n 是线性空间 Vn 的两个基，且 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n n n n nn n c c c c c c c c c = + + + = + + + = + + + (6.1) (6-1) 式可表为 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) . n n n n n n nn n c c c c c c c c c = = C (6.2) (6-1)和(6-2)称为基变换公式，矩阵 C 称为由基 1, 2,., n 到基 1, 2,., n 的过 渡矩阵，由于 1 2 , , , n 线性无关，故 C 一定是可逆矩阵. 定理 3 设 Vn 中的元素 在基 1, 2,., n 下的坐标为(x1，x2，.，xn)，在基 1, 2,., n 下的坐标为 1 2 ( , , , ) n x x x ，若两个基满足(6-2)，则有坐标变换公式 1 1 1 1 2 2 2 2 1 , . n n n n x x x x x x x x x x x x − = = C C 或 (6-3) 证 因 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n x x x x x x x x x = = = C