第二章 矩阵S1矩阵的定义在经济模型、工程计算等问题中，我们经常利用矩阵这一有力工具，下面我们引入矩阵的概念线性方程组ax,+a2x+..+amx,=0,a2m,+a+...+a2nx=0...[am+a2x,++amx,=0的系数可排列成一个m行n列的矩形数表[a.an：：Lan..am这样的表叫做mxn短阵，我们用粗黑体字A等表示，a，叫做矩阵A的元素，它位于矩阵A的第i行、第j列的交叉处，一般情况下，有定义如下：定义1给出mxn个数，按一定顺序排成一个m行n列的矩形数表[aa2..ana21 a22.. a2n：….Laml am2 . amm此数表叫做m行n烈短阵，简称mxn短阵，上面的矩阵一般用大写字母A，B，C.表示，有时亦记为A=(a）mn，或A=(a,）或Amn在mxn矩阵A中，如果m=n，就称A为n阶方阵，如果矩阵A的元素α，全为实（复）数，就称A为实（复）矩阵，只有一行的矩阵A=(α az * a,)叫做行矩阵，为避免元素间的混淆，行矩阵也记作A=(a,a,",a).只有一列的矩阵1
1 第二章 矩阵 §1 矩阵的定义 在经济模型、工程计算等问题中，我们经常利用矩阵这一有力工具，下面我们引入矩阵 的概念. 线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 的系数可排列成一个 m 行 n 列的矩形数表 11 1 1 n n nn a a a a 这样的表叫做 m n 矩阵，我们用粗黑体字 A 等表示， ij a 叫做矩阵 A 的元素，它位于矩 阵 A 的第 i 行、第 j 列的交叉处，一般情况下，有定义如下： 定义 1 给出 m n 个数，按一定顺序排成一个 m 行 n 列的矩形数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a ， 此数表叫做 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵.上面的矩阵一般用大写字母 A ， B ，C . 表示，有时亦记为 A ( )ij m n a = ,或 A = ( )ij a 或 A m n . 在 m n 矩阵 A 中，如果 m= n ，就称 A 为 n 阶方阵.如果矩阵 A 的元素 ij a 全为实(复) 数，就称 A 为实(复)矩阵.只有一行的矩阵 1 2 ( ) n A = a a a 叫做行矩阵，为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 1 2 ( , , , ) n A = a a a . 只有一列的矩阵
bb(b叫做烈矩阵当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是型短阵.元素都是零的矩阵称为零短阵，记作0注意不同型的零矩阵是不同的在n阶方阵A=(a）中，位于相同行相同列交叉位置的元素a.(i=1,2,,n)称为方阵A的主对角线元素.下面我们介绍几种常见的特殊方阵：1.三角矩阵如果n阶方阵A=(a,)中元素满足条件a,=0(i>j)(i,j=1,2,,n),即A的主对角线以下的元素全为零，则称A为n阶上三角矩阵.即(aa2.an0a21**2nA=：0oa..如果n阶方阵A=(a)中元素满足条件a,=0(i>j)(i,j=1,2,,n),即A的主对角以上的元素全为零，则称A为n阶下三角短阵。即00ait0..a21a22A=.：.anan.am）上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角短阵2.对角矩阵如果n阶方阵A=（a）中元素满足条件a,=0(i+j)，即A的主对角线以外的元素全为零，则称A为n阶对角矩阵，即0(a000a2...A=...(00..a...我们也记A=diag（ai,a22"",am）.显然对角矩阵既是上三角矩阵，也是下三角矩阵3.数量矩阵如果在n阶对角矩阵A=(a)中元素满足条件a.=a(i,j=1,2,,n),则称A为数量短2
2 1 2 n b b b B = 叫做列矩阵. 当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.元素都是零的矩阵称为零 矩阵，记作 O . 注意 不同型的零矩阵是不同的. 在 n 阶方阵 ( ij)n n A a = 中，位于相同行相同列交叉位置的元素 a i n ii ( =1,2, , ) 称为方 阵 A 的主对角线元素.下面我们介绍几种常见的特殊方阵： 1.三角矩阵 如果 n 阶方阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a i j i j n ij = = 0 , 1,2, , , ( )( ) 即 A 的主对角线 以下的元素全为零，则称 A 为 n 阶上三角矩阵.即 11 12 1 21 2 0 0 0 n n nn a a a a a A a = . 如果 n 阶方阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a i j i j n ij = = 0 , 1,2, , , ( )( ) 即 A 的主对角 以上的元素全为零，则称 A 为 n 阶下三角矩阵.即 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a A a a a = . 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵. 2.对角矩阵 如果 n 阶方阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a i j ij = 0 , ( ) 即 A 的主对角线以外的元素全为 零，则称 A 为 n 阶对角矩阵.即 11 22 0 0 0 0 0 0 nn a a A a = . 我们也记 A diag a a a = ( 11 22 , , , nn ) .显然对角矩阵既是上三角矩阵，也是下三角矩阵. 3.数量矩阵 如果在n阶对角矩阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a a i j n ii = = ( , 1,2, , ,) 则称 A 为数量矩
阵.即00a0qA=..00.a4.单位矩阵如果在n阶对角矩阵A=(a）中元素满足条件a=1(i=1,2,,n),则称A为n阶单位矩阵，记为E，.即10.001...0E. =:1：(00..1在讨论企业管理的数学问题中常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一物资，比如说钢铁，有s个产地A,A，A和n个销地B,B,，,B，那么一个调运方案就可用一个矩阵[aa2. aa21a2..a2n...Last ast asn来表示，其中a，表示由产地A运到销地B，的数量在许多实际问题中，会遇到一组变量由另一组变量线性表示的问题，如变量J,J2，,Jm可由变量X，2，，X，线性表示，即y=ai+ax+*+anxny2=a2,+a222+..+a2nn...ym=amlj+am2X2++ammXn称这种由变量x,2，,x，到变量y,J2,y的变换为线性变换，它的系数构成一矩阵(a，）mxn（称为系数矩阵)是确定的.反之，如果给出了一个矩阵是线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定了.从这个意义上讲，线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换例1线性变换3
3 阵.即 0 0 0 0 0 0 a a A a = . 4.单位矩阵 如果在 n 阶对角矩阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a i n ii = = 1 1,2, , , ( ) 则称 A 为 n 阶单位 矩阵，记为 E n .即 1 0 0 0 1 0 0 0 1 En = . 在讨论企业管理的数学问题中常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一物资，比如说 钢铁，有 s 个产地 1 2 , , , A A A s 和 n 个销地 1 2 , , , B B B s ，那么一个调运方案就可用一个矩 阵 11 12 1 21 22 2 1 1 n n s s sn a a a a a a a a a 来表示，其中 ij a 表示由产地 Ai 运到销地 Bj 的数量. 在许多实际问题中，会遇到一组变量由另一组变量线性表示的问题，如变量 1 2 , , , m y y y 可由变量 1 2 , , , n x x x 线性表示，即 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x = + + + = + + + = + + + 称这种由变量 1 2 , , , n x x x 到变量 1 2 , , , m y y y 的变换为线性变换，它的系数构成一矩阵 ( )ij m n a (称为系数矩阵)是确定的.反之，如果给出了一个矩阵是线性变换的系数矩阵，则线 性变换也就确定了.从这个意义上讲，线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，因此可以 利用矩阵来研究线性变换. 例 1 线性变换
y=Mn,y2=x2y, =A,xn对应n阶方阵M0.0020A=.**..+100.s2矩阵的运算一、矩阵的加法首先，我们给出两个矩阵相等的概念，如果两同型矩阵A与B的对应元素都相等，则称这两个短阵相等，记为A=B.定义2设有两个mxn矩阵A=（a），B=(b），那么A与B的和记为A+B，规定为[au+biai2+bi2an+bina2i+b21a22+b22..a2n+b2nA+B=:：..Laml+bmlam2+bm2..amm+bmm注意，只有当两个矩阵同型时，才能进行加法运算由于矩阵的加法归结为他们的元素的加法，也就是数的加法，所以，不难验证加法满足运算规律：(1)A+B=B+A（交换律）(2)（A+B)+C=A+(B+C).（结合律）数与矩阵相乘二、定义3数入与矩阵A的乘积记做入A，规定为[AaAai2.. JanNa2iNa2.. NanΛA=:：".amlam..Ja数乘矩阵满足下列运算规律：(1) (μ)A=A(μA) :(2)(+μ)A=AA+μA:4
4 1 1 1 2 2 2 , , n n n y x y x y x = = = 对应 n 阶方阵 1 2 0 0 0 0 0 0 n = A . §2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 首先，我们给出两个矩阵相等的概念，如果两同型矩阵 A 与 B 的对应元素都相等，则称 这两个矩阵相等，记为 A B = . 定义 2 设有两个 m n 矩阵 ( )ij A = a ， ( )ij B = b ，那么 A 与 B 的和记为 A + B ，规定 为 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + + + + + + A+ B = . 注意，只有当两个矩阵同型时，才能进行加法运算. 由于矩阵的加法归结为他们的元素的加法，也就是数的加法，所以，不难验证加法满足 运算规律： (1) A+ B = B + A ；(交换律) (2) ( ) + ( ) A+ B C = A+ B + C .(结合律) 二、 数与矩阵相乘 定义 3 数 与矩阵 A 的乘积记做 A ，规定为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a = A 数乘矩阵满足下列运算规律： (1) ( ) ( ) A A = ; (2) ( ) + = + A A A ；
(3)(A+B)=A+B设矩阵A=(a)，记-A=(-1)·A=(-1·a,）=(-a,），-A称为A的负短阵，显然有A+(-A)=0.其中0为各元素均为0的同型矩阵.由此规定A-B=A+(-B).三、矩阵与矩阵相乘定义4设A=（a,）mxs，B=(b,）sn，那么规定矩阵A与B的乘积是C=(c, )mn"其中C,=atb,+azb,+.+a.b,-Zaubyk=1(i=1,2,.,m, j=1,2,..,n),并把此乘积记作C=AB.记号AB常读作A左乘B或B右乘A(b)b,特别地，当行矩阵aαi2a）与列矩阵相乘时，即.bs(b,)bij(a,aj2=(a,bu,+a,bzi+...+a.b)as...（bg）就是一个数c，这表明c,就是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和，注意：只有当第一个矩阵（左矩阵)的列数与第二个矩阵（右矩阵)的行数相等时，两个矩阵才能相乘.例 2 [a 0][o00]A:0B=bI[abc]0Lc求AB和BA.[o00]007000解AB：BA0aa,+bb,+cc0005
5 (3) ( ) A+ B A+ B = . 设矩阵 ( )ij A = a ，记 ( 1) ( 1 ) ( ) ij ij − − = − = − A = A a a ,- A 称为 A 的负矩阵，显然有 A+ A = ( ) 0 − . 其中 O 为各元素均为 0 的同型矩阵.由此规定 A B = A B − − + ( ) . 三、 矩阵与矩阵相乘 定义 4 设 ( )ij m s a A = , ( )ij s n b B = ，那么规定矩阵 A 与 B 的乘积是 ( )ij m n c C = ， 其中 1 1 2 2 1 s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b = = + + + = ( 1,2, , ; 1,2, , ) i m j n = = ， 并把此乘积记作 C = AB.记号 AB 常读作 A 左乘 B 或 B 右乘 A . 特别地，当行矩阵 1 2 ( ) i i is a a a 与列矩阵 1 2 j j sj b b b 相乘时，即 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b = + + + 就是一个数 ij c ，这表明 ij c 就是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积之和. 注意：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数与第二个矩阵(右矩阵)的行数相等时，两个矩 阵才能相乘. 例 2 0 0 0 a b c A = ， 1 1 1 0 0 0 a b c B = 求 AB 和 BA. 解 1 1 1 0 0 aa bb cc 0 + + AB = , 000 000 000 BA =