第八节 第三章 方程的近似解 求方程f(x)=0的实根 两种情形∫可求精确根(有时计算很繁) 无法求精确根求近似根 本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 三、一般迭代法(补充) 机动目录上下返回结束
三、一般迭代法 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 求方程 f (x) 0的实根 可求精确根 无法求精确根 求近似根 两种情形 (有时计算很繁) 本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三章
根的隔离与二分法 若方程f(x)=0在{ab内只有一个根,则称[a,b]为 其隔根区间 f(eCLa, bl,f(a)f(6)<0 [a,b]为隔根区间 且f(x)在(a,b)内严格单调 y y=f(x) 1.求隔根区间的一般方法 作图法 b 由y=f(x)的草图估计隔根区间; y=o(x) 将∫(x)=0转化为等价方程 yy(x) p(x=y(x) 由y=0(x),y=W(x)的草图估计隔根区间0a5bx 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、根的隔离与二分法 若方程 f (x) 0在[a,b]内只有一个根， 且 f (x)在（a,b）内严格单调 则称[a,b]为 其隔根区间. f (x)C[a,b], f (a) f (b) 0, [a,b]为隔根区间 (1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法 由y f (x)的草图估计隔根区间; 将 f (x) 0转化为等价方程 o x y y f (x) o x y 由y (x), y (x)的草图估计隔根区间 . a b (x) (x) a b y (x) y (x)
例如,方程x3-x-1=0可转化为 x3=x+1 由图可见只有一个实根ξ∈(1,1.5) y=x+1 x 1.5)即为其隔根区间 (2)逐步收索法 y 从区间[a,b的左端点出发,以定步长h一步步向右 搜索,若 f(a+jhf(a+(j+1)h)<o (=0,1 …;a+(j+1)h≤b) 则区间[a+,a+(+1)h内必有根 搜索过程也可从b开始,取步长h<0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 逐步收索法 , 1 0 3 例如 方程 x x 1 3 x x 由图可见只有一个实根 (1,1.5), 可转化为 (1,1.5)即为其隔根区间. 从区间[a, b]的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右 搜索, 若 f (a jh) f (a ( j 1)h) 0 ( j 0,1,; a ( j 1)h b) 则区间[a jh，a ( j 1)h]内必有根. 搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 . o x y 1 2 3 y x y x 1
2.二分法 设f(x)∈C[a,b],f(a)f(b)<0,且方程f(x)=0只有 一个根ξ∈(a,b,取中点51=, 若f(51)=0,则5即为所求根5 b 若f(a)f(1)<0,则根∈(a,51)令a1=a,b1=51; 否则5∈(51,b)令④1=51,b1=b, 对新的隔根区间[a12b重复以上步骤,反复进行,得 a,b→[a1,b]…[an,bn]→ 若取[an,bn的中点5m+1=(an+b)作为的近似根, 则误差满足2n1-5≤(bn-an)≤,h(b-a)-m3,0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
1 a 1b 2. 二分法 设 f (x)C[a,b]， f (a) f (b) 0，且方程 f (x) 0只有 一个根 (a, b)， 取中点1 a 2 b ， 若 ， 1 ( ) 0 f 1 . 则1 即为所求根 若 f (a) f (1 ) 0， ( , ), 1 则根 a , ; 1 1 1 令a a b ( , ), 1 否则 b 对新的隔根区间[ , ] 1 1 a b 重复以上步骤,反复进行,得 , , 1 1 1 令a b b [a, b] [a1 , b1 ] [an , bn ] 若取 [an , bn ]的中点 则误差满足 ( ) 2 1 n 1 n n b a ( ) 1 2 1 b a n a b ( ) 2 1 n 1 n n a b 作为的近似根, 0 n 1 a 1b 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.用二分法求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的近似 实根时要使误差不超过103,至少应对分区间多少次? 解:设f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4,则f(x)∈C(-∞,+∞) (x)=3x2+22x+0.9>0 (∵Δ=-567<0) f(x)在(-∞,+∞)单调递增,又 f(0)=-1.4<0,f()=16>0 故该方程只有一个实根ξ,[0,为其一个隔根区间,欲使 n+1 ≤1(1-0)<10-3 必需2+1>1000即n>log210001≈8.96 可见只要对分区间9次,即可得满足要求的实根近似值50 (计算结果见“高等数学”(上册)P177~178) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
例1. 用二分法求方程 1.1 0.9 1.4 0 3 2 x x x 的近似 实根时, 要使误差不超过 10 , 3 至少应对分区间多少次 ? 解: 设 ( ) 1.1 0.9 1.4, 3 2 f x x x x 则 f (x)C(, ) ( ) 3 2.2 0.9 2 f x x x 0 ( 5.67 0) f (x)在(, )单调递增, 又 f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0 故该方程只有一个实根 , [0,1]为其一个隔根区间, 欲使 (1 0) 1 2 1 n1 n 3 10 必需 2 1000, 1 n 即 log 1000 1 n 2 8.96 可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10 (计算结果见“高等数学”(上册) P177～178) 机动 目录 上页 下页 返回 结束