第七节 第三章 平面曲线的曲率 曲线的弯「与切线的转角有关 曲程度1与曲线的弧长有关 MM 主要内容: 弧微分 曲率及其计算公式 △a 曲率圆与曲率半径 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上贞下页返回结束
第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 M M M 平面曲线的曲率 第三章
弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数,其图形为AB 弧长s=AM=S(x) y↑y=f(x)B M′ △sMM′MM M △ △xMM△x MM′√(△x)2+(4y)2o MM b x x+△x MM △ 1+ MM MMT △x Im ±1 Ax-OMM s(x)=/i)△s △x->0△x 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上页下臾返回结束
一、 弧微分 设 y f (x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s AM s(x) x s M M M M x M M M M M M x x y 2 2 ( ) ( ) M M M M 2 1 ( ) x y x s s x x 0 ( ) lim 2 1 ( y ) x A B y f (x) a b x o y x M x x M y lim 1 0 M M M M x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(x)=√1+(y ds=√1+(y)2dx或ds=dx)2+(dy2 若曲线由参数方程表示 x=x(1) y=y(t) 则弧长微分公式为ds=√x2+p2dt 几何意义:ds=M M/d d cos sIn al ds ds o xxix x 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上页下臾返回结束
则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2 s (x) 2 1 ( y ) ds 1 ( y ) dx 2 或 2 2 ds (dx) (dy) x dx dx o x y x M dy T 几何意义: ds MT cos ; d d s x sin d d s y 若曲线由参数方程表示: ( ) ( ) y y t x x t 机动 目录 上页 下页 返回 结束
曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为As,对应切线 转角为Aa,定义 弧段△上的平均曲率 △a K=\AS My △, 点M处的曲率 △ada K= lim △s ds 注意:直线上任意点处的曲率为0 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上贞下页返回结束
二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 , 定义 弧段s上的平均曲率 s K M M s 点 M 处的曲率 s K s 0 lim ds d 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为
例1求半径为R的圆上任意点处的曲率 解:如图所示, △s=R△a <Aa△s K=hin△a1 R △s>0△sR 可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害 R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上贞下页返回结束
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s R s K s 0 lim R 1 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . s R M M 机动 目录 上页 下页 返回 结束