第四节 第三章 函数的单调性与 曲线的凹凸性 函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章
函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间内可导,若∫(x)>0 (f(x)<0),则f(x)在内单调递增(递减) 证:无妨设f(x)>0,x∈任取x1,x2∈I(x1<x2) 由拉格朗日中值定理得 f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1)>0 5∈(x1,x2)∈1 故∫(x)<∫(x2).这说明f(x)在/内单调递增 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
例1.确定函数∫(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解:f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)x-2) 令∫(x)=0,得x=1,x=2 x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞) f(x)+ 0 f(x) 故f(x)的单调增区间为(-∞。,1),(2,+∞) f(x)的单调减区间为(1,2) HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: l)单调区间的分界点除驻点外也可是导数不存在的点 例如,y x,x∈(-∞,+∞ y 33/x =0=∞0 2)如果函数在某驻点两边导数同号 则不改变函数的单调性 例如,y=x3,x∈(-∞,+∞) O y 0 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2证明0<x≤n时成立不等式r2 证:令f(x) sInx X 则f(x)在(0,如上连续,在(0,=)上可导,直 x. cOSx-SInx COsx f(x) 2(x-tan x)<0 tanx 因此f(x)在(0,)内单调递减, 又f(x)在处左连续因此/(x)2(7)=0 从而 x∈(0,] 2 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 证明 上页下页返回结味
例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明 目录 上页 下页 返回 结束