第二节 第二章 函数的求导法则 一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章
思路: f(x)=lnf(x+△x)-f(x) (构造性定义) △x→>0 △x 本节内容 求导法则 (C)=0 (sinx)=Cosx证明中利用了 nxy=1两个重要极限其它基本初等 X 初等函数求导问题 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
思路: x f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) lim 0 ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C ) (sin x ) (ln x ) 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束
四则运算求导法则 定理1.函数u=l(x)及v=v(x)都在x具有导数 l(x)及v(x)的和、差、积、商(除分母 为0的点外)都在点x可导,且 (1)[(x)±y(x)='(x)±y(x) (2)[v(x)v(x)='(x)v(x)+u(x)(x) (3)/(x)7(x)(x)-2(x)(x) v(x)≠0) v(X v2(x) 下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和 例题 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
一、四则运算求导法则 定理1. 函数u u(x)及v v(x)都在 x具有导数 u(x)及v(x) 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (1) [u(x) v(x)] u (x) v (x) (2) [u(x)v(x)] u (x)v(x) u(x)v (x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 2 v x u x v x u x v x v x u x 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . (v(x) 0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1)(±y)=l'±y 证:设f(x)=(x)±y(x),则 f(x)=lim f(x+h)-f(x) h->0 lim Lu(x+h)v(x+h]-Lu(x)+v(x)I lin u(x+h)-u(x ±lin(x+h)-v(x h->0 h h->0 h l(x)±y(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形.例如 例如,(u+y-v)y=l'+v- HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u v) u v f (x) u(x) v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 u (x) v (x) 故结论成立. 例如, (u v w) u v w 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如
(2)(uv=u'v+uv 证:设f(x)=1(x)(x),则有 f(x)=lim f(+h)-f(x) lim x+h)v(x+h)-u(xv(x) h→>0 h h→>0 h lim/u(x+h)-ulv(x+h)+u(rv(x+h)-v(x h l(x)v(x)+l(x)y(x)故结论成立 推论:1)(Cu)=Clr’(C为常数) 2)(uvw)=u'vw+uv'w+uvw nx 3)(loga x) na XIna 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
(2) (uv) u v u v 证: 设 f (x) u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 u (x)v(x) u(x)v (x) 故结论成立. h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x h) h v(x) u(x) v(x h) 推论: 1) (Cu ) 2) (uvw) Cu u vw uv w uvw 3) (loga x ) a x ln ln x ln a 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )