第十章后续课矩阵建模举例
第十章 后续课矩阵建模举例
10.1多项式插值问题 例：试求三次插值多项式p)=a,+at+,r+a,r，使 曲线通过以下4个点：(0,3)，(1,0)，(2，-1)，(3,6)。 解：这4个点的坐标应满足三次多项式函数，代入后有： a 100 a,+a1+a2+a3=0 111 a, a0+2a1+4a2 +8a3 =-1 124 8 a0+3a1+9a2+27a3=6 139272 6 程序： A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27]; B=[3;0;-1;6];a=A\B 得到a=[3,-2,-2,1]T,即p(t)=3-2t-2t2+t
10.1 多项式插值问题 例：试求三次插值多项式 ，使 曲线通过以下4个点: (0,3),(1,0),(2,-1),(3,6) 。 解：这4个点的坐标应满足三次多项式函数，代入后有： 程序： A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27]; B=[3;0;-1;6];a=A\B 得到a=[3,-2,-2,1]T ,即 2 3 0 1 2 3 p t a a t a t a t ( ) = + + + 0 0 0 1 2 3 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 3 3 1 0 0 0 3 0 1 1 1 1 0 2 4 8 1 1 2 4 8 1 3 9 27 6 1 3 9 27 6 a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + = = + + + = − − + + + = 2 3 p t t t t ( ) 3 2 2 = − − +
例10.1的图形 %绘图程序 ezp1ot('3-2*t-2*t^2+t^3') hold on,grid on 3-2t-2t2 p1ot([0:3],[3,0,-1,6],'x') 1ine([1.5,1.5],[0,6]) axis([-1,4,-2,8]) %求t=1.5处的插值函数值 t1=1.5: p1=3-2*t1-2*t1^2+t1^3 0 p1ot(t1,p1,'o') 图10.1例10.1的插值曲线
例10.1的图形 ％ 绘图程序 ezplot('3-2*t-2*t^2+t^3') hold on,grid on plot([0:3],[3,0,-1,6],'x') line([1.5,1.5],[0,6] ) axis([-1,4,-2,8]) ％求t=1.5处的插值函数值 t1=1.5; p1=3-2*t1-2*t1^2+t1^3 plot(t1,p1,'o') 图10.1 例10.1的插值曲线
高阶的多项式插值 ·在一般情况下，当给出函数在+1个点上的值时，就可 以用n次多项式p(t)=a+a,t+a2t+…+a,t 对它进行插值。如果给出的点数（即方程数）大于+1， 方程组成为超定的，因而没有一个能满足方程组的解， 得出的曲线将是以最小二乘意义下的误差靠近各点， 于是插值就变为拟合。 ·插值也不一定是自变量的多项式，比如圆锥曲线方程 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=O 虽然它有6个系数，若用a除以此方程两端，得到的将 是有5个待定系数的方程。如果给出x-y平面上的5个点， 就可以列出5个线性方程来确定这5个系数
高阶的多项式插值 • 在一般情况下，当给出函数在n+1个点上的值时，就可 以用n次多项式 对它进行插值。如果给出的点数（即方程数）大于n+1， 方程组成为超定的，因而没有一个能满足方程组的解， 得出的曲线将是以最小二乘意义下的误差靠近各点， 于是插值就变为拟合。 • 插值也不一定是自变量的多项式，比如圆锥曲线方程 虽然它有6个系数，若用a除以此方程两端，得到的将 是有5个待定系数的方程。如果给出x-y平面上的5个点， 就可以列出5个线性方程来确定这5个系数。 2 2 ax bxy cy dx ey f + + + + + = 0 2 0 1 2 ( ) n n p t a a t a t a t = + + + +
10.2坐标测量仪测定的拟合 比如为了测量一个圆锥形截面的半径，可在x-y 平面内测量其圆周上n个点的坐标(x:,y:) (i=1,..n),然后拟合出此截面的方程。 ●〉 对于每一组数据(x,y),代入圆锥曲线方程， 移项可得： xy9+yc2+x,C3+y,c4+C5=-x;2(i=1,2,…,n) n个点就有n个方程。其结构相同，只是数据 不同。可以把数据写成列向量，然后用元素群 运算一次列出所有的n个方程
10.2 坐标测量仪测定的拟合 • 比如为了测量一个圆锥形截面的半径，可在x-y 平面内测量其圆周上n个点的坐标(xi,yi) (i=1,…n)，然后拟合出此截面的方程。 • 对于每一组数据(xi ,yi)，代入圆锥曲线方程， 移项可得： n个点就有n个方程。其结构相同，只是数据 不同。可以把数据写成列向量，然后用元素群 运算一次列出所有的n个方程。 2 2 1 2 3 4 5 ( 1,2, , ) i i i i i i x y c y c x c y c c x i n + + + + = − =