（2）关系推理关系推理是根据对象间关系的逻辑联系（如对称，传递等）进行推演的推理形式，它的前提和结论都是关系判断。常见的关系推理有对称关系推理、反对称关系推理、传递关系推理和反传递关系推理，其中对称关系推理和反对称关系推理通称为直接关系推理；传递关系推理和反传递关系推理通称为间接关系推理。1°对称关系推理及其结构20反对称关系推理及其结构30传递关系推理及其结构4°反传递关系推理及其结构3.类比法类比法也叫类比推理，它是根据两个对象具有相同或类似的一些属性，并且其中一个对象还具有其它某一属性，得到另一个对象也具有与这一其它属性相同或类似的属性的推理方法。和不完全归纳法一样，类比法的前提和结论之间有着或然性的联系，当前提为真时，结论不一定真。由类比法得到的有些结论，经实践的检验和理论上的进一步研究而得到证实；有些结论经实践检验或理论研究而被推翻。用类比法得到的结论虽然不一定真实，但在人们的认识活动中，类比法却是一种重要的研究工具，如通过对数与式、平面与空间、一元与多元、相等与不等、有限与无限之间的类比推理，发现有许多数学事实，经严格证明而被确认。因此，类比法虽然不能作为一种严格的推理方法，但它在科学研究中提出新问题、发现新结论方面起着非常重要的作用。4．数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与自然数相关的数学命题的一种推理方法。这种方法既有演绎推理的特征，又有归纳推理的特征，它是根据归纳公理综合运用归纳推理和演绎推理的一种特殊的推理方法。数学归纳法的一般步骤是：10验证n=1时命题成立；20假设n=k时命题成立，在此前提下推得n=k+1时命题也成立；30根据10、20断定命题对于全体自然数都成立。从表面上看，数学归纳法似乎是归纳法，其实不然。因为它是以皮亚诺公理中的归纳原理为大前提的。这一原理是：若M是自然数N的子集，如果101EM，20当nEM时，n+1EM。那么M=N。由此可知，数学归纳法实际上就是以皮亚诺公理为大前提，以其中的1°、2°两步为小前提的三短论推理，因此它是一种严格的推理方法。习题：1.怎样的推理叫做不完全归纳推理？怎样的推理叫做完全归纳推理？2.不完全归纳推理的结论是否一定正确？举例说明。3.怎样的推理叫做演绎推理？常用的演绎推理有哪些？4.怎样的推理叫做三段论？举出三段论推理的例子。5．怎样的推理叫做类比推理？类比推理的结论是否一定正确？举例说明。6.学生在推理论证中常犯的错误主要有哪些？举例说明
（2）关系推理 关系推理是根据对象间关系的逻辑联系（如对称，传递等）进行推演的推理形式，它的前提和 结论都是关系判断。 常见的关系推理有对称关系推理、反对称关系推理、传递关系推理和反传递关系推理，其中对 称关系推理和反对称关系推理通称为直接关系推理；传递关系推理和反传递关系推理通称为间接关 系推理。 1 0 对称关系推理及其结构 2 0 反对称关系推理及其结构 3 0 传递关系推理及其结构 4 0 反传递关系推理及其结构 3.类比法 类比法也叫类比推理，它是根据两个对象具有相同或类似的一些属性，并且其中一个对象还具 有其它某一属性，得到另一个对象也具有与这一其它属性相同或类似的属性的推理方法。 和不完全归纳法一样，类比法的前提和结论之间有着或然性的联系，当前提为真时，结论不一 定真。由类比法得到的有些结论，经实践的检验和理论上的进一步研究而得到证实；有些结论经实 践检验或理论研究而被推翻。 用类比法得到的结论虽然不一定真实，但在人们的认识活动中，类比法却是一种重要的研究工 具，如通过对数与式、平面与空间、一元与多元、相等与不等、有限与无限之间的类比推理，发现 有许多数学事实，经严格证明而被确认。因此，类比法虽然不能作为一种严格的推理方法，但它在 科学研究中提出新问题、发现新结论方面起着非常重要的作用。 4．数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与自然数相关的数学命题的一种推理方法。这种方法既有演绎推理的 特征，又有归纳推理的特征，它是根据归纳公理综合运用归纳推理和演绎推理的一种特殊的推理方 法。 数学归纳法的一般步骤是：10 验证n = 1时命题成立；20 假设n = k时命题成立，在此前提下 推得n = k+1时命题也成立；30 根据10 、20 断定命题对于全体自然数都成立。 从表面上看，数学归纳法似乎是归纳法，其实不然。因为它是以皮亚诺公理中的归纳原理 为大前提的。这一原理是：若M是自然数N的子集，如果10 1∈M, 20 当n∈M时,n +1∈M。那么M = N。由此可知，数学归纳法实际上就是以皮亚诺公理为大前提，以其中的10、20两步为小前提的三短 论推理，因此它是一种严格的推理方法。 习题： 1．怎样的推理叫做不完全归纳推理？怎样的推理叫做完全归纳推理？ 2．不完全归纳推理的结论是否一定正确？举例说明。 3．怎样的推理叫做演绎推理？常用的演绎推理有哪些？ 4．怎样的推理叫做三段论？举出三段论推理的例子。 5．怎样的推理叫做类比推理？类比推理的结论是否一定正确？举例说明。 6．学生在推理论证中常犯的错误主要有哪些？举例说明
第四节数学习题与解题教学（一）教学目标：1.明确数学习题的类型及其作用；2.掌握解题教学的基本要求：3.掌握培养学生解题能力的基本途径教学重、难点：掌握解题教学的基本要求及掌握培养学生解题能力的基本途径是本节的重点，其中培养学生解题能力的基本途径是本节的难点。教学方法：讲解法教学过程：美国数学家哈尔莫斯指出：“数学真正的组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏。“数学习题是数学教学内容的重要组成部分，解题教学是实现数学课程目标的重要手段。在中小学数学教学中，合理地选择数学习题，恰当地开展解题教学，对于提高教学质量，实现课程目标有着举足轻重的作用。一、数学习题的类型及作用在数学教学中，围绕数学基础知识及其思想方法的系统，为使学生深入理解、巩固和应用这些知识和思想方法，为培养和发展学生的数学能力，为提高学生的数学素质、促进良好品格的形成而设置的任何计算题、求解题、证明题等，都称为数学习题。数学习题包括各种类型的例题、练习题、习作题和复习题。根据教学中设置数学习题的知识背景和习题所发挥的作用，将数学习题分为以下类型：1. 例题以课内学习的知识技能和方法为背景或以有关的已有知识、技能和方法为背景而设置的专供教师讲解或师生共同解答的一类习题，称为例题。例题的作用是对所学知识、技能和方法的应用进行示范，从而使学生对所学知识得到进一步理解和掌握，把知识、技能和思想方法联系起来，为独立解决问题、提高解题能力奠定基础。2.练习题以单一的课内所学知识、技能和方法为背景而设置的专供课堂练习使用的一类习题称为练习题。练习题的作用是及时巩固所学知识，加深对所学概念的理解，较熟练地掌握所学的基本技巧和方法。3.习作题以课内所学知识、技能和方法与某些原有的知识、技能和方法相结合的方式设置的专供课外独立作业使用的一类习题称为习作题。习作题具有一定的综合性，其作用是通过习作，深入理解和掌握新知识，进一步巩固新知识，并将新旧知识进行综合运用，从而提高分析问题和解决问题的能力。4.复习题在学完一章或一册内容之后，以所学的各类新知识和原有的知识相结合的方式设置的专供课内外复习使用的一类习题称为复习题。复习题有章复习题和总复习题，章复习题是学完一章内容之后设置的复习题，总复习题是学完一册内容之后设置的复习题。复习题具有较强的综合性、层次性和
第四节 数学习题与解题教学（一） 教学目标： 1．明确数学习题的类型及其作用； 2．掌握解题教学的基本要求； 3．掌握培养学生解题能力的基本途径。 教学重、难点： 掌握解题教学的基本要求及掌握培养学生解题能力的基本途径是本节的重点，其中培养学 生解题能力的基本途径是本节的难点。 教学方法： 讲解法 教学过程： 美国数学家哈尔莫斯指出："数学真正的组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏。"数 学习题是数学教学内容的重要组成部分，解题教学是实现数学课程目标的重要手段。在中小学数学 教学中，合理地选择数学习题，恰当地开展解题教学，对于提高教学质量，实现课程目标有着举足 轻重的作用。 一、数学习题的类型及作用 在数学教学中，围绕数学基础知识及其思想方法的系统，为使学生深入理解、巩固和应用这些 知识和思想方法，为培养和发展学生的数学能力，为提高学生的数学素质、促进良好品格的形成而 设置的任何计算题、求解题、证明题等，都称为数学习题。 数学习题包括各种类型的例题、练习题、习作题和复习题。根据教学中设置数学习题的知识背 景和习题所发挥的作用，将数学习题分为以下类型： 1．例题 以课内学习的知识技能和方法为背景或以有关的已有知识、技能和方法为背景而设置的专供教 师讲解或师生共同解答的一类习题，称为例题。例题的作用是对所学知识、技能和方法的应用进行 示范，从而使学生对所学知识得到进一步理解和掌握，把知识、技能和思想方法联系起来，为独立 解决问题、提高解题能力奠定基础。 2．练习题 以单一的课内所学知识、技能和方法为背景而设置的专供课堂练习使用的一类习题称为练习 题。练习题的作用是及时巩固所学知识，加深对所学概念的理解，较熟练地掌握所学的基本技巧和 方法。 3．习作题 以课内所学知识、技能和方法与某些原有的知识、技能和方法相结合的方式设置的专供课外独 立作业使用的一类习题称为习作题。习作题具有一定的综合性，其作用是通过习作，深入理解和掌 握新知识，进一步巩固新知识，并将新旧知识进行综合运用，从而提高分析问题和解决问题的能 力。 4．复习题 在学完一章或一册内容之后，以所学的各类新知识和原有的知识相结合的方式设置的专供课内 外复习使用的一类习题称为复习题。复习题有章复习题和总复习题，章复习题是学完一章内容之后 设置的复习题，总复习题是学完一册内容之后设置的复习题。复习题具有较强的综合性、层次性和
灵活性，其作用是通过系统训练和习作，加深对基础知识和基本技能的理解和掌握，并能对所学知识和技能逐步达到深刻应用、综合应用和灵活应用，从而提高分析问题和解决问题的能力。据上述习题的类型及作用来看，数学习题遍布于整个数学教学过程之中，因此，习题的教学贯穿于整个数学教学过程之中，而且是数学教学的中心。二、解题教学的基本要求为讨论解题教学的基本要求，先考察解数学题的一般步骤。任何一个数学题的解答主要分为以下四步：1.审题。通过认真观察和分析，认清题目中的所有已知条件（包括隐含条件），明确题目要求解决的问题；2.确定解题方案。通过分析题目中所给的条件和要求解决的问题，找出各种数量或事物（如点、直线等）之间的关系，探求解题方案，最后确定出最佳解题方案：3.解题。根据所确定的解题方案，表述解题过程，最终使问题得到解决：4．检验与深化。判断解决问题的合理与否，回顾解题的全过程，探讨其它解题方法，并对解题方法进行总结推广加以深化。根据以上解题步骤，解题教学应达到以下基本要求：1.使学生养成仔细审题的习惯要达到这一要求，教师应通过例题的讲解、定理的证明等途径，说明审题的重要性，教育学生在解题时必须仔细观察并分析题目，找出题目中所给的条件和要求解决的问题，以及一些隐含的条件，画出切合题目实际的图形。教师在解题时必须多次做出示范。2：便学生思维严密，真有三我判断能力，迅速确定解题策略要达到这一要求，就必须教育学生高度重视数学基础知识对解题的指导作用，并通过各种途径提高学生的逻辑思维能力；同时要培养学生的解题技巧和灵活运用知识探索解题途径的能力：还要让学生积累解题经验，总结解题规律。3.使学生能用数学语言准确精炼地表达解题过程要达到这一要求，教学中必须高度重视对学生的数学语言训练和逻辑表达能力的培养，让学生口述准确，解题过程规范、条理清晰、详略得当，表达清楚。4.使学生合理准确地进行运算、标准地作图这就要求学生在解题时利用合理的方法进行运算，运算必须认真细心，逐步达到简捷、迅速；作图要规范、标准，符合题目中的条件和要求，防止草从事的现象发生。5.使学生养成解题后进行反思的习惯这就要求学生在解完题后对解题过程进行回顾，寻求不同的解题方法，探讨条件变化时所得到的结论，发现解题的突破口，总结解题的新方法和新技巧等等，以达到检验和深化的目的。习题：1.什么是数学习题？数学习题分哪几种类型？2.怎样的习题叫做例题、练习题、习作题和复习题，它们的作用分别是什么？3.培养学生解题能力的基本途径是什么？第五节数学能力的培养（一）
灵活性，其作用是通过系统训练和习作，加深对基础知识和基本技能的理解和掌握，并能对所学知 识和技能逐步达到深刻应用、综合应用和灵活应用，从而提高分析问题和解决问题的能力。 据上述习题的类型及作用来看，数学习题遍布于整个数学教学过程之中，因此，习题的教学贯 穿于整个数学教学过程之中，而且是数学教学的中心。 二、解题教学的基本要求 为讨论解题教学的基本要求，先考察解数学题的一般步骤。任何一个数学题的解答主要分为以 下四步： 1．审题。通过认真观察和分析，认清题目中的所有已知条件（包括隐含条件），明确题目要求 解决的问题； 2．确定解题方案。通过分析题目中所给的条件和要求解决的问题，找出各种数量或事物（如 点、直线等）之间的关系，探求解题方案，最后确定出最佳解题方案； 3．解题。根据所确定的解题方案，表述解题过程，最终使问题得到解决； 4．检验与深化。判断解决问题的合理与否，回顾解题的全过程，探讨其它解题方法，并对解题 方法进行总结推广加以深化。 根据以上解题步骤，解题教学应达到以下基本要求： 1．使学生养成仔细审题的习惯 要达到这一要求，教师应通过例题的讲解、定理的证明等途径，说明审题的重要性，教育学生 在解题时必须仔细观察并分析题目，找出题目中所给的条件和要求解决的问题，以及一些隐含的条 件，画出切合题目实际的图形。教师在解题时必须多次做出示范。 2．使学生思维严密，具有自我判断能力，迅速确定解题策略 要达到这一要求，就必须教育学生高度重视数学基础知识对解题的指导作用，并通过各种途径 提高学生的逻辑思维能力；同时要培养学生的解题技巧和灵活运用知识探索解题途径的能力；还要 让学生积累解题经验，总结解题规律。 3．使学生能用数学语言准确精炼地表达解题过程 要达到这一要求，教学中必须高度重视对学生的数学语言训练和逻辑表达能力的培养，让学生 口述准确，解题过程规范、条理清晰、详略得当，表达清楚。 4．使学生合理准确地进行运算、标准地作图 这就要求学生在解题时利用合理的方法进行运算，运算必须认真细心，逐步达到简捷、迅速； 作图要规范、标准，符合题目中的条件和要求，防止潦草从事的现象发生。 5．使学生养成解题后进行反思的习惯 这就要求学生在解完题后对解题过程进行回顾，寻求不同的解题方法，探讨条件变化时所得到 的结论，发现解题的突破口，总结解题的新方法和新技巧等等，以达到检验和深化的目的。 习题： 1．什么是数学习题？数学习题分哪几种类型？ 2．怎样的习题叫做例题、练习题、习作题和复习题，它们的作用分别是什么？ 3．培养学生解题能力的基本途径是什么？ 第五节 数学能力的培养（一）