概念的内涵与外延之间的关系：概念的内涵与外延之间存在着发展中的反变关系：当内涵增多时，就会得到外延集缩小的新概念；反之，当内涵减少时，就会得到外延集扩大的新概念。3.概念间的关系概念间的关系：是指概念的外延集之间的关系，若两个概念的外延集具有公共元素，则称这两个概念为相容关系，否则称这两个概念为不相容关系。如果设A、B、C三个集合分别是甲、乙、丙三个概念的外延集，那么：（1）若ANB≠Φ，则称甲、乙两概念之间的关系为相容关系。相容关系又可分为同一关系（全同关系）、属种关系（从属关系）和交叉关系，即（2）若AnB为空集且A、B都是C的真子集，则称甲、乙两概念为同一属概念丙之下的不相容关系（全异关系）。不相容关系又可分为矛盾关系和反对关系。概念间的不相容关系是数学中利用反证法和穷举法证题的依据之一。4.概念的定义概念的定义就是揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法。其中揭示内涵的定义称为内涵定义，明确外延的定义称为外延定义。（1）定义的结构及表达形式任何定义都由被定义项Ds、定义项Dp和定义联项组成，其中被定义项Ds是指要求给予明确的概念；定义项Dp是指用来明确被定义项的概念；定义联项是指用来联接定义项和被定义项的词语。由于用于表达定义联项的词语不同，因此对定义的表达形式也有所不同，常见的表达形式为：Ds就是Dp;Ds等于Dp;Ds表示Dp;Ds当且仅当Dp；Dp叫做DsDp称为Ds等等。（2）下定义的规则定义的表述必须合理、正确、简明，因此在下定义时一定要遵循以下规则：规则1定义要相称。即定义项和被定义项的外延集必须相同。规则2定义不得循环。即定义项中所选用的概念必须是已经确定的，不能直接或间接地包含被定义项。规则3定义要简捷。即定义的表达要简明、扼要、精练。规则4定义一般不用否定形式。即除某些非用否定形式表达不可的定义之外，绝大多数定义都要用肯定有关属性的形式表达定义项。5.原始概念原始概念：根据下定义的规则2，定义项中所选用的概念必须是先前已经确定的，也就是已被定义过的，如此顺次上溯，最终必出现未定义过的概念，这样的概念就是原始概念。在数学教材中对所引用的原始概念都作了一定的解释和描述，但对它们的表述形式都不是定义的形式
概念的内涵与外延之间的关系：概念的内涵与外延之间存在着发展中的反变关系：当内涵增多 时，就会得到外延集缩小的新概念；反之，当内涵减少时，就会得到外延集扩大的新概念。 3．概念间的关系 概念间的关系：是指概念的外延集之间的关系，若两个概念的外延集具有公共元素，则称这两个 概念为相容关系，否则称这两个概念为不相容关系。 如果设A、B、C三个集合分别是甲、乙、丙三个概念的外延集，那么： （1）若A∩B≠ф，则称甲、乙两概念之间的关系为相容关系。 相容关系又可分为同一关系（全同关系）、属种关系（从属关系）和交叉关系，即 （2）若A∩B为空集且A B ，则称甲、乙两概念为同一属概念丙之 下的不相容关系（全异关系）。 不相容关系又可分为矛盾关系和反对关系。 概念间的不相容关系是数学中利用反证法和穷举法证题的依据之一。 4．概念的定义 概念的定义就是揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法。其中揭示内涵的定义称为内涵定义，明 确外延的定义称为外延定义。 （1）定义的结构及表达形式 任何定义都由被定义项Ds、定义项Dp和定义联项组成，其中被定义项Ds是指要求给予明确的概 念；定义项Dp是指用来明确被定义项的概念；定义联项是指用来联接定义项和被定义项的词语。由 于用于表达定义联项的词语不同，因此对定义的表达形式也有所不同，常见的表达形式为： Ds就是Dp； Ds等于Dp； Ds表示Dp； Ds当且仅当Dp； Dp叫做Ds Dp称为Ds等等。 （2）下定义的规则 定义的表述必须合理、正确、简明，因此在下定义时一定要遵循以下规则： 规则1 定义要相称。即定义项和被定义项的外延集必须相同。 规则2 定义不得循环。即定义项中所选用的概念必须是已经确定的，不能直接或间接地包 含被定义项。 规则3 定义要简捷。即定义的表达要简明、扼要、精练。 规则4 定义一般不用否定形式。即除某些非用否定形式表达不可的定义之外，绝大多数定 义都要用肯定有关属性的形式表达定义项。 5．原始概念 原始概念：根据下定义的规则2，定义项中所选用的概念必须是先前已经确定的，也就是已被 定义过的，如此顺次上溯，最终必出现未定义过的概念，这样的概念就是原始概 念。 在数学教材中对所引用的原始概念都作了一定的解释和描述，但对它们的表述 形式都不是定义的形式。 、 都是C的真子集
6.概念的划分概念的划分就是把一个属概念按照某一属性划分为若干个互不相容的种概念。被分的属概念称为划分的母项，分得的各个种概念称为划分的子项，划分时所依据的属性称为划分的标准。(1）划分的种类i一次划分法。就是根据实际需要对某一概念只划分一次，将划分后的子项不再继续划分。ii连续划分法。就是根据实际需要，将某一概念第一次划分后把所得的子项又作为母项继续划分，直到满足需要为止。iii二分法。就是将母项划分为两个具有矛盾关系的子项的划分法。这种方法实际上就是将母项中具有某种属性的种概念作为一个子项，而不具有这种属性的种概念作为另一个子项，每次划分都只有两个子项。(2）划分的规则为了使概念的划分准确无误，必须遵循以下规则：规则1划分要相称。规则2每次划分都要用同一标准。即在同一次划分时，只能选用被分概念的同一属性，而不能同时选用两种或两种以上属性。规则3划分要逐级进行，不能越级。即每次划分应取与母项最接近的种概念作为子项，而不能将母项的某一种概念的种概念作为子项。习题：1：什么是数学概念？试举出数学概念的例子。2.什么是概念的内涵和外延？举例说明它们之间的关系。3.概念间的关系有哪几类？其中每一类又有哪几种？4.指出下列概念中每两个概念之间的关系：BCA实数无理数有理数D无限且不循环的小数E分数第二节数学命题及其教学（一）教学目标：1.明确数学命题的含义；2.掌握数学命题教学的程序和方法。教学重、难点：明确数学命题的含义及数学教学命题的程序和方法是本节的重点，其中数学命题的含义是本节的难点。教学方法：讲解法教学过程：一、数学命题1.判断的意义，结构及类型
6．概念的划分 概念的划分就是把一个属概念按照某一属性划分为若干个互不相容的种概念。被分的属概念称 为划分的母项，分得的各个种概念称为划分的子项，划分时所依据的属性称为划分的标准。 （1）划分的种类 i 一次划分法。就是根据实际需要对某一概念只划分一次，将划分后的子项不再继续划 分。 ii 连续划分法。就是根据实际需要，将某一概念第一次划分后把所得的子项又作为母项继 续划分，直到满足需要为止。 iii二分法。就是将母项划分为两个具有矛盾关系的子项的划分法。这种方法实际上就是将母 项中具有某种属性的种概念作为一个子项，而不具有这种属性的种概念作为另一个子项，每次划分 都只有两个子项。 （2）划分的规则 为了使概念的划分准确无误，必须遵循以下规则： 规则1 划分要相称。 规则2 每次划分都要用同一标准。即在同一次划分时，只能选用被分概念的同一属性，而不 能同时选用两种或两种以上属性。 规则3 划分要逐级进行，不能越级。即每次划分应取与母项最接近的种概念作为子项，而不 能将母项的某一种概念的种概念作为子项。 习题： 1．什么是数学概念？试举出数学概念的例子。 2．什么是概念的内涵和外延？举例说明它们之间的关系。 3．概念间的关系有哪几类？其中每一类又有哪几种？ 4．指出下列概念中每两个概念之间的关系： A 实数 B 无理数 C 有理数 D无限且不循环的小数 E 分数 第二节 数学命题及其教学（一） 教学目标： 1．明确数学命题的含义； 2．掌握数学命题教学的程序和方法。 教学重、难点： 明确数学命题的含义及数学教学命题的程序和方法是本节的重点，其中数学命题的含义是 本节的难点。 教学方法： 讲解法 教学过程： 一、数学命题 1．判断的意义，结构及类型
判断：是对思维对象有所断定的思维形式，所谓”断定”，是指肯定或否定。因此，也就是说，判断是对思维对象有所肯定或否定的思维形式。"有所断定”是判断的基本特征之一，任何一个判断都表示对思维对象”有所断定”，即肯定或否定。另外，有真假之分也是判断的基本特征，如果一个判断能够正确地反映客观实际，与事实相符，那么这个判断就是真实的，称为真判断；否则，就是虚假的，称为假判断。判断的结构：判断一般由主词（用S表示），宾词（用P表示），联结词构成，按判断的质分为：1°肯定判断，反映对象和属性关系的判断。其逻辑形式为：S是P。20否定判断，反映对象和属性之间缺乏某种联系的判断。其逻辑形式为：S不是P。判断可按不同的标准分类。按照判断的量分为：1°全称判断，其宾词所指的为主词外延的一部分。其逻辑形式为"所有S都是（或不是）P"。2°特称判断，其宾词所指的为主词外延的一部分。其逻辑形式为"有些S都是（或不是）P”。30单称判断，其主词为特定对象的单独个体。从表面看，单称判断似乎是一种特称判断，但实质上按其主词的外延来看，它是属于全称判断的一类。在全称判断中，可以省略表示量的”所有”一词；而在特称判断中，绝对不能省略表示量的”有些”一词。按判断的量和质分类：1°全称肯定判断，其逻辑形式是"所有S都是P"；2°全称否定判断，其逻辑形式是"所有S都不是P"；30特称肯定判断，其逻辑形式是”有些S是P”4°特称否定判断，其逻辑形式是"有些S不是P”；2.数学命题数学命题就是在数学中能够判断真假的陈述语句。换句话说，表示数学判断的陈述语句叫做数学命题。数学命题往往采用含有数学符号的语言陈述。显然命题也有真、假之分，如果一个判断是真判断，那么表示该判断的语句是真命题，否则就是假命题。3.四种命题及其关系数学中的命题一般都可表示成"若P则q”或”如果P那么q”的形式，其中P叫做命题的条件，q叫做命题的结论，我们称这种形式的命题为蕴涵式命题。例如”对顶角相等”是一数学命题，可将它表示成蕴涵式命题，即”如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。1°逆命题及其形式；20否命题及其形式；3°逆否命题及其形式。由上述四种命题的一般形式可以看出，它们之间存在着互逆、互否、及互为逆否三种关系。从中学的学习我们已经知道，当原命题真时，其逆命题和否命题都不一定真，而逆否命题却一定真；反之，当原命题假时，其逆命题和否命题不一定假，而逆否命题却一定假
判断:是对思维对象有所断定的思维形式，所谓"断定"，是指肯定或否定。因此，也就是说，判 断是对思维对象有所肯定或否定的思维形式。 "有所断定"是判断的基本特征之一，任何一个判断都表示对思维对象"有所断定"，即肯定或否 定。另外，有真假之分也是判断的基本特征，如果一个判断能够正确地反映客观实际，与事实相 符，那么这个判断就是真实的，称为真判断；否则，就是虚假的，称为假判断。 判断的结构：判断一般由主词（用S表示），宾词（用P表示），联结词构成。 按判断的质分为： 1 0肯定判断，反映对象和属性关系的判断。其逻辑形式为：S是P。 2 0否定判断，反映对象和属性之间缺乏某种联系的判断。其逻辑形式为：S不是P。 判断可按不同的标准分类。 按照判断的量分为： 1 0全称判断，其宾词所指的为主词外延的一部分。其逻辑形式为"所有S都是（或不是）P"。 2 0特称判断，其宾词所指的为主词外延的一部分。其逻辑形式为"有些S都是（或不是）P"。 3 0单称判断，其主词为特定对象的单独个体。从表面看，单称判断似乎是一种特称判断，但实质 上按其主词的外延来看，它是属于全称判断的一类。 在全称判断中，可以省略表示量的"所有"一词；而在特称判断中，绝对不能省略表示量的"有 些"一词。 按判断的量和质分类： 1 0全称肯定判断，其逻辑形式是"所有S都是P"； 2 0全称否定判断，其逻辑形式是"所有S都不是P"； 3 0特称肯定判断，其逻辑形式是"有些S是P"； 4 0特称否定判断，其逻辑形式是"有些S不是P"； 2．数学命题 数学命题就是在数学中能够判断真假的陈述语句。换句话说，表示数学判断的陈述语句叫做数学 命题。数学命题往往采用含有数学符号的语言陈述。显然命题也有真、假之分，如果一个判断是真 判断，那么表示该判断的语句是真命题，否则就是假命题。 3．四种命题及其关系 数学中的命题一般都可表示成"若P则q"或"如果P那么q"的形式，其中P叫做命题的条件，q叫做命 题的结论，我们称这种形式的命题为蕴涵式命题。例如"对顶角相等"是一数学命题，可将它表示成 蕴涵式命题，即"如果两个角是对顶角，那么这两个角相等"。 1 0逆命题及其形式； 2 0否命题及其形式 ； 3 0逆否命题及其形式。 由上述四种命题的一般形式可以看出，它们之间存在着互逆、互否、及互为逆否三种关系。 从中学的学习我们已经知道，当原命题真时，其逆命题和否命题都不一定真，而逆否命题 却一定真；反之，当原命题假时，其逆命题和否命题不一定假，而逆否命题却一定假
如果一个命题与另一个命题同真同假，那么就说这两个命题等价。根据等价的含义，上述问题可归结为：互逆或互否的两个命题不等价，而互为逆否的两个命题等价。4.定理和公理凡是经过逻辑证明确认真实性的命题叫做定理，例如两个函数的和的导数，等于这两个函数的导数的和”、“两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的两倍”、”同底数的幕相乘，底数不变，指数相加”等都是数学定理。其中第二个例子恰好叙述了一个完全平方公式，第三个例子叙述了同底数幂的乘法法则，因此数学定理包括数学中的公式和法则。有些定理是由定义或前一个定理只需稍加思索而不需详细证明推得的真实性命题，我们称这些定理为推论。综上所述，数学中的定理包括公式、法则和推论。在推证一些定理时，要以在它前面推得的其它一些定理为基础，而推证这些定理时，又要以在它前面推得的其它定理为基础，顺次上溯，最终要用到未经过逻辑证明的一些最基本的命题，而且这些命题是人们经过长期的实践直接证实的，它们是推证其它命题的依据，我们称这些命题为公理。习题：1：什么是判断？怎样的判断才是真实的数学判断？2在数学中，常用的判断有哪几种？它们的逻辑形式分别是什么？3.指出命题”对顶角相等的条件和结论，并分别写出这一命题的逆命题、否命题和逆否命题最后指出这三个命题的真假性。第三节推理、证明及其教学（一）教学目标：1.明确推理、证明的含义；2.掌握推理、证明教学的程序和方法。教学重、难点：明确推理、证明的含义及掌握推理、证明教学的程序和方法是本节的重点，其中明确推理、证明的含义是本节的难点。教学方法：讲解法教学过程：一、推理（一）推理的意义推理就是由一个或几个已知判断，得到一个新的判断的思维形式。每个推理都由前提和结论两部分组成，推理所依据的已知判断，叫做推理的前提，得出的新判断，叫做推理的结论。推理的前提可以是一个，也可以是多个。(二）推理的方法在数学中，常用的推理方法主要有归纳法、演绎法和类比法，分别介绍如下：1.归纳法归纳法也叫归纳推理，它是由特殊到一般的推理，也就是由两个或两个以上单称判断或特称判断（前提）得到一个全称判断（结论）的推理方法
如果一个命题与另一个命题同真同假，那么就说这两个命题等价。根据等价的含义，上述问题可 归结为：互逆或互否的两个命题不等价，而互为逆否的两个命题等价。 4．定理和公理 凡是经过逻辑证明确认真实性的命题叫做定理，例如"两个函数的和的导数，等于这两个函数的 导数的和"、"两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的两倍"、"同底数的幂 相乘，底数不变，指数相加"等都是数学定理。其中第二个例子恰好叙述了一个完全平方公式，第三 个例子叙述了同底数幂的乘法法则，因此数学定理包括数学中的公式和法则。 有些定理是由定义或前一个定理只需稍加思索而不需详细证明推得的真实性命题，我们称这些定 理为推论。 综上所述，数学中的定理包括公式、法则和推论。 在推证一些定理时，要以在它前面推得的其它一些定理为基础，而推证这些定理时，又要以在它 前面推得的其它定理为基础，顺次上溯，最终要用到未经过逻辑证明的一些最基本的命题，而且这 些命题是人们经过长期的实践直接证实的，它们是推证其它命题的依据，我们称这些命题为公理。 习题： 1．什么是判断？怎样的判断才是真实的数学判断？ 2．在数学中，常用的判断有哪几种？它们的逻辑形式分别是什么？ 3．指出命题"对顶角相等"的条件和结论，并分别写出这一命题的逆命题、否命题和逆否命题， 最后指出这三个命题的真假性。 第三节 推理、证明及其教学(一) 教学目标： 1．明确推理、证明的含义； 2．掌握推理、证明教学的程序和方法。 教学重、难点： 明确推理、证明的含义及掌握推理、证明教学的程序和方法是本节的重点，其中明确推 理、证明的含义是本节的难点。 教学方法： 讲解法 教学过程： 一、推理 （一）推理的意义 推理就是由一个或几个已知判断，得到一个新的判断的思维形式。 每个推理都由前提和结论两部分组成，推理所依据的已知判断，叫做推理的前提，得出的新判 断，叫做推理的结论。推理的前提可以是一个，也可以是多个。 （二）推理的方法 在数学中，常用的推理方法主要有归纳法、演绎法和类比法，分别介绍如下： 1.归纳法 归纳法也叫归纳推理，它是由特殊到一般的推理，也就是由两个或两个以上单称判断或特称判 断（前提）得到一个全称判断（结论）的推理方法
归纳法可分为不完全归纳法和完全归纳法。（1）不完全归纳法不完全归纳法也叫不完全归纳推理，它是由一类事物的部分对象具有的某一属性得到这类事物的全体对象都具有这一属性的推理。以上两例中的推理方法都是不完全归纳法，由于不完全归纳法是将部分对象具有的属性推广到全体对象的推理方法，因此这种推理的结论不一定正确，但是利用不完全归类法得到的结论有时也正好适合于全体对象。由此可见，尽管利用不完全归纳法得到的结论不一定正确，但在发现某类事物的共同属性方面，它却起着非常重要的作用，事实上，数学中的许多真实性命题，都是通过不完全归纳法发现的。（2）完全归纳法完全归纳法也叫完全归纳推理，它是由一类事物的每一个对象所具有的某个同一属性得到这类事物的全体对象都具有这一属性的推理。当所考察的事物的对象较少时，自然可用完全归纳法，但是当所考察的事物的对象很多甚至有无限多个时，很难逐一考察每个对象甚至无法考察，这时若将这一事物形成的集合划分成有限的几个独立、完备的子集，并在其中的各个子集上都能考察出每个对象的某一属性，就可以利用完全归纳法。由于完全归纳法考察了一类事物的每一个对象，因而由正确的前提必然会得到正确的结论，所以它是一种严格的推理方法，数学中常用这种方法进行证明2.演绎法演绎法也叫演绎推理，它是由一般到特殊的推理，也就是由一类事物对象的一般判断（前提），得到这类事物的个别对象的特殊判断（结论）的一种推理方法。由于演绎法是从一般到特殊的推理方法，因此这种推理只要前提是真的，并且推理合乎逻辑，那么所得到的结论肯定是正确的。所以，演绎法也是一种严格的推理方法。演绎推理的形式多种多样，数学中常用的有三段论、关系推理、联言推理、选言推理、假言推理和模态推理等，其中最普遍的是三段论和关系推理，以下仅对三段论和关系推理加以介绍。（1）三段论三段论是由某类事物的一个..全称判断和另一个全称或特称判断得出一个新的全称或特称判断的推理形式，其结构为：M是（或不是）·大前提，S是M,..小前提S是或不是）·结论。任何一个三段论都包含着三个项，即小项S大项P和中项M，其中小项S是结论中的主项，大项P是结论中的谓项，中项M是结论中消失的项，也是两个前提中的共同项。在三段论推理中，具有大项的前提叫做大前提，具有小项的前提叫做小前提，大前提是一个全称判断，小前提是一个全称或特称判断。从三段论的结构来看，如果大前提是肯定判断，那么结论也是肯定判断，反之，如果大前提是否定判断，那么结论也是否定判断。一个推理过程往往由若干个前后相联系的三段论组合而成。在使用三段论进行推理时，也往往省略大前提或小前提
归纳法可分为不完全归纳法和完全归纳法。 （1）不完全归纳法 不完全归纳法也叫不完全归纳推理，它是由一类事物的部分对象具有的某一属性得到这类事物 的全体对象都具有这一属性的推理。 以上两例中的推理方法都是不完全归纳法。 由于不完全归纳法是将部分对象具有的属性推广到全体对象的推理方法，因此这种推理的结论 不一定正确，但是利用不完全归类法得到的结论有时也正好适合于全体对象。由此可见，尽管利用 不完全归纳法得到的结论不一定正确，但在发现某类事物的共同属性方面，它却起着非常重要的作 用，事实上，数学中的许多真实性命题，都是通过不完全归纳法发现的。 （2）完全归纳法 完全归纳法也叫完全归纳推理，它是由一类事物的每一个对象所具有的某个同一属性得到这类 事物的全体对象都具有这一属性的推理。 当所考察的事物的对象较少时，自然可用完全归纳法，但是当所考察的事物的对象很多甚至有 无限多个时，很难逐一考察每个对象甚至无法考察，这时若将这一事物形成的集合划分成有限的几 个独立、完备的子集，并在其中的各个子集上都能考察出每个对象的某一属性，就可以利用完全归 纳法。 由于完全归纳法考察了一类事物的每一个对象，因而由正确的前提必然会得到正确的结论，所 以它是一种严格的推理方法，数学中常用这种方法进行证明。 2.演绎法 演绎法也叫演绎推理，它是由一般到特殊的推理，也就是由一类事物对象的一般判断（前 提），得到这类事物的个别对象的特殊判断（结论）的一种推理方法。 由于演绎法是从一般到特殊的推理方法，因此这种推理只要前提是真的，并且推理合乎逻辑， 那么所得到的结论肯定是正确的。所以，演绎法也是一种严格的推理方法。 演绎推理的形式多种多样，数学中常用的有三段论、关系推理、联言推理、选言推理、假言推 理和模态推理等，其中最普遍的是三段论和关系推理，以下仅对三段论和关系推理加以介绍。 （1）三段论 三段论是由某类事物的一个.全称判断和另一个全称或特称判断得出一个新的全称或特称判 断的推理形式，其结构为： ∵ M是（或不是）P.大前提， S是M，.小前提， ∴ S是（或不是）P.结论。 任何一个三段论都包含着三个项，即小项S大项P和中项M，其中小项S是结论中的主项，大项P是 结论中的谓项，中项M是结论中消失的项，也是两个前提中的共同项。在三段论推理中，具有大项的 前提叫做大前提，具有小项的前提叫做小前提，大前提是一个全称判断，小前提是一个全称或特称 判断。 从三段论的结构来看，如果大前提是肯定判断，那么结论也是肯定判断，反之，如果大前提是 否定判断，那么结论也是否定判断。 一个推理过程往往由若干个前后相联系的三段论组合而成。在使用三段论进行推理时，也往往 省略大前提或小前提