2向量组线性关系的判定 向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 x1C1+X20c2+.+xnan=0 Wzj 0,= j=1,2,n 时」 a1x1+a12X2+.+a1nXn=0 0 a21X1+a22X2+.+a2mXn=0 0 amam2x2+amnn=O 0
向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 1 2 1, 2, , j j j mj a a j n a = = 0 0 0 0 = x x x 1 1 2 2 + ++ = n n 0 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 2.向量组线性关系的判定
于是得到下面的结论 (1)向量组心，.，0n线性相关的充分必要条件是对 应的齐次线性方程组有非零解。 (2)向量组a1,α2，.，n线性无关的充分必要条件是对 应的齐次线性方程组只有零解 3向量组线性关系的判定的应用。 例题1讨论向量组6,62，.，6的线性关系
1 (1) , , 向量组 n 线性相关的充分必要条件是对 应的齐次线性方程组有非零解。 于是得到下面的结论 . (2) , , , 1 2 应的齐次线性方程组只有零解 向量组 n 线性无关的充分必要条件是对 3.向量组线性关系的判定的应用。 1 , , , . 例题 讨论向量组 1 2 n 的线性关系
解：设个数k1,k2,kn,使得 k161+k262+.+knEn=0 即 (k1,k2,kn)=(0,0,.,0)成立， 则必有k=0,k2=0,.,kn=0, 所以1,2，.，8n线性无关。 例题2已知向量组%1,42，α，的线性无关，证明向量组 y1+2,02+%3,c1+04是线性无关的
1 2 1 1 2 2 , , , , 0 n n n n k k k k k k + ++ = 解：设 个数 使得 1 2 ( , , , ) (0,0, ,0) n 即 k k k = 成立， 1 2 1 2 0, 0, , 0 , , , . n n k k k = = = 则必有 ， 所以 线性无关 , , . 2 , , , 1 2 2 3 1 3 1 2 3 是线性无关的 例题 已知向量组 的线性无关 证明向量组 + + +
证：设有k,k2,k使 k1B1+k2B2+k3B3=0 即k,(,+a2)+k2(a2+a3)+k(a3+)=0, 亦即(k+k3)1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a=0, 因&1，a2,a线性无关，故有 k1+k3=0, k1+k2=0, k2+k3=0
1 2 3 1 1 2 2 3 3 , , 0 k k k k k k + + = 设有 使 1 1 2 2 2 3 3 3 1 即 ( ) ( ) 0, k k k （ + + + + + = ） 1 3 1 1 2 2 2 3 3 亦即 ) ( ) ( ) 0, （k k k k k k + + + + + = 因1， 2， 3线性无关，故有 1 3 1 2 2 3 0, 0, 0. k k k k k k + = + = + = 证:
101 由于此方程组的系数行列式110=2≠0 011 故方程组只有零解k,=k2=k3=0,所以向量组 B,P2,B,线性无关 例5设r维向量组a,=(a1,42.,0r),i=1,2,.,m 及r+1维向量组a=(a1,42,0r,+1,i=1,2, ,m.即a,是由a,加一个分量而得若r维向量组， a2,m线性无关，试证r+1维向量组a,., n线性无关
1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 1 由于此方程组的系数行列式 = 1 2 3 1 2 3 0 , , . k k k 故方程组只有零解 === ，所以 向量组 线性无关 1 2 1 2 , 1 1 2 1 2 5 ( , , , ), 1,2, , 1 ( , , , , ), 1,2, , . . , , , 1 , , , . i i i ir i i i ir i r i i m m r a a a i m r a a a a i m r r + = = + = = + 例 设 维向量组 及 维向量组 即 是由 加一个分量而得 若 维向量组 线性无关，试证 维向量组 线性无关